Frédéric Wang Subscribe   About Me   Blog Archive   Mathematics   Computer Science

3 Représentations de dimension finie

3.3 Représentations irréductibles de la spécialisation restreinte

Dans cette section, nous allons reformuler les paramètres des représentations de la spécialisation restreinte, de façon à pouvoir classifier celles qui sont irréductibles comme des représentations de plus haut poids.

Nous avons aussi vu l’importance du paramètre Δi\Delta_{i} qui intuitivement donne la direction dans laquelle va évoluer ki1k_{{i1}}. Pour conserver le fait que l’action de Xi+,(Xi+)(mi)X_{i}^{+},{(X_{i}^{+})}^{{(m_{i})}} augmente ki1k_{{i1}} et que celle de Xi-,(Xi-)(mi)X_{i}^{-},{(X_{i}^{-})}^{{(m_{i})}} le diminue, il est naturel de considérer à la place le paramètre Δiki1\Delta_{i}k_{{i1}}. De même, on a vu que l’action de Uϵres{U_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}} modifie le paramère σi\sigma_{i} en le multipliant par une puissance de ϵimi\epsilon_{i}^{{m_{i}}}. Il est donc judicieux de modifier légèrement la définition de ces coefficients en les multipliant par une puissance de ϵimi\epsilon_{i}^{{m_{i}}} bien choisie, de façon à ce que le paramètre σ\sigma devienne invariant par l’action de Uϵres{U_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}}. la définition 3.3.1 et la proposition 3.3.2 expriment ainsi le sous-espace V(τi,ki0,ki1)1inTV_{{{(\tau_{i},k_{{i0}},k_{{i1}})}_{{1\leq i\leq n}}}}^{T} en fonction de σ=((ϵimi)ki/miτi)1in\sigma={({(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{{\left\lfloor k_{i}/m_{i}\right\rfloor}}% }\tau_{i})}_{{1\leq i\leq n}} et de λ=i=1n(Δiki1+ki0)ωiP\lambda=\sum_{{i=1}}^{{n}}\left(\Delta_{i}k_{{i1}}+k_{{i0}}\right)\omega_{i}\in P. Les changements de signes sont répercutés dans la définition de Vσ,λTV_{{\sigma,\lambda}}^{T}.

Définition 3.3.1.

Soit VV un Uϵres{U_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}}-module de dimension finie, σ{-1,1}n\sigma\in{\{-1,1\}}^{n}, λP\lambda\in P et T(*)nT\in{({\mathbb{N}}^{*})}^{n}. On pose

Vσ,λT\displaystyle V_{{\sigma,\lambda}}^{T} =1inKer(Ki-σiϵiλ(αi)1)Ker([Ki;0mi]ϵi-σimi[λ(αi)mi]ϵi1)Ti\displaystyle=\bigcap_{{1\leq i\leq n}}{\operatorname{Ker}{\mathop{\left(K_{i}% -\sigma_{i}\epsilon_{i}^{{\lambda(\alpha_{i}^{\vee})}}1\right)}}\cap% \operatorname{Ker}{\mathop{{\left({\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0}}{m_{i}}% }_{{\epsilon_{i}}}-\sigma_{i}^{{m_{i}}}{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{\lambda(\alpha% _{i}^{\vee})}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}1\right)}^{{T_{i}}}}}} (3.17)
=1inKer(Ki-σiϵiλ(αi)1)Ker([Ki;0mi]ϵi-Δi(λ)λ(αi)mi1)Ti\displaystyle=\bigcap_{{1\leq i\leq n}}{\operatorname{Ker}{\mathop{\left(K_{i}% -\sigma_{i}\epsilon_{i}^{{\lambda(\alpha_{i}^{\vee})}}1\right)}}\cap% \operatorname{Ker}{\mathop{{\left({\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0}}{m_{i}}% }_{{\epsilon_{i}}}-\Delta_{i}(\lambda)\left\lfloor\frac{\lambda(\alpha_{i}^{% \vee})}{m_{i}}\right\rfloor 1\right)}^{{T_{i}}}}}}

i,Δi(λ)=(-1)mi+1σimi(ϵimi)λ(αi)+1\forall i,\Delta_{i}(\lambda)={(-1)}^{{m_{i}+1}}\sigma_{i}^{{m_{i}}}{(\epsilon% _{i}^{{m_{i}}})}^{{\lambda(\alpha_{i}^{\vee})+1}}. On définit l’espace de poids

Vσ,λ=T(*)nVσ,λTV_{{\sigma,\lambda}}=\bigcup_{{T\in{({\mathbb{N}}^{*})}^{n}}}V_{{\sigma,% \lambda}}^{T} (3.18)
Proposition 3.3.2.

Pour tout poids ρ=(τi,ki0,ki1)1in\rho={(\tau_{i},k_{{i0}},k_{{i1}})}_{{1\leq i\leq n}}, posons σ=((ϵimi)λ(αi)/miτi)1in\sigma={({(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{{\left\lfloor\lambda(\alpha_{i}^{\vee})/% m_{i}\right\rfloor}}}\tau_{i})}_{{1\leq i\leq n}} et λ=i=1n(miΔiki1+ki0)ωiP\lambda=\sum_{{i=1}}^{{n}}\left(m_{i}\Delta_{i}k_{{i1}}+k_{{i0}}\right)\omega_% {i}\in P. Alors Vσ,λT=VρTV_{{\sigma,\lambda}}^{T}=V_{\rho}^{T} et Vσ,λ=VρV_{{\sigma,\lambda}}=V_{\rho}. De plus les espaces de poids Vσ,λTV_{{\sigma,\lambda}}^{T} sont en somme directe et V=σ,λVσ,λV=\bigoplus_{{\sigma,\lambda}}V_{{\sigma,\lambda}}.

Démonstration.

On se donne un poids ρ=(τi,ki0,ki1)1in\rho={(\tau_{i},k_{{i0}},k_{{i1}})}_{{1\leq i\leq n}} et on pose λ=i=1n(miΔiki1+ki0)ωi\lambda=\sum_{{i=1}}^{{n}}\left(m_{i}\Delta_{i}k_{{i1}}+k_{{i0}}\right)\omega_% {i} comme dans l’énoncé. Alors par définition λ(αi)=miΔiki1+ki0\lambda(\alpha_{i}^{\vee})=m_{i}\Delta_{i}k_{{i1}}+k_{{i0}} est la division euclidienne de λ(αi)\lambda(\alpha_{i}^{\vee}) par mim_{i}. On utilise le lemme 3.2.8: On a bien Δi(λ)λ(αi)mi1=σimi[λ(αi)mi]ϵi1\Delta_{i}(\lambda)\left\lfloor\frac{\lambda(\alpha_{i}^{\vee})}{m_{i}}\right% \rfloor 1=\sigma_{i}^{{m_{i}}}{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{\lambda(\alpha_{i}^{% \vee})}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}1, σiϵiλ(αi)=τi(ϵimi)λ(αi)miϵiλ(αi)=τiϵiki0\sigma_{i}\epsilon_{i}^{{\lambda(\alpha_{i}^{\vee})}}=\tau_{i}{(\epsilon_{i}^{% {m_{i}}})}^{{\left\lfloor\frac{\lambda(\alpha_{i}^{\vee})}{m_{i}}\right\rfloor% }}\epsilon_{i}^{{\lambda(\alpha_{i}^{\vee})}}=\tau_{i}{\epsilon_{i}}^{{k_{{i0}% }}} et

Δi\displaystyle\Delta_{i} =(-1)mi+1τimi(ϵimi)ki0+1\displaystyle={(-1)}^{{m_{i}+1}}\tau_{i}^{{m_{i}}}{(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{% {k_{{i0}}+1}}
=(-1)mi+1σimi(ϵimi)λ(αi)mimi(ϵimi)ki0+1\displaystyle={(-1)}^{{m_{i}+1}}\sigma_{i}^{{m_{i}}}{(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}% ^{{\left\lfloor\frac{\lambda(\alpha_{i}^{\vee})}{m_{i}}\right\rfloor m_{i}}}{(% \epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{k_{{i0}}+1}}
=(-1)mi+1σimi(ϵimi)λ(αi)+1\displaystyle={(-1)}^{{m_{i}+1}}\sigma_{i}^{{m_{i}}}{(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}% ^{{\lambda(\alpha_{i}^{\vee})+1}}
=Δ(λ)\displaystyle=\Delta(\lambda)

d’où on déduit Δi(λ)λ(αi)mi=Δiλ(αi)mi=ΔimiΔiki1+ki0mi=ΔiΔiki1=ki1\Delta_{i}(\lambda)\left\lfloor\frac{\lambda(\alpha_{i}^{\vee})}{m_{i}}\right% \rfloor=\Delta_{i}\left\lfloor\frac{\lambda(\alpha_{i}^{\vee})}{m_{i}}\right% \rfloor=\Delta_{i}\left\lfloor\frac{m_{i}\Delta_{i}k_{{i1}}+k_{{i0}}}{m_{i}}% \right\rfloor=\Delta_{i}\Delta_{i}k_{{i1}}=k_{{i1}}. Par conséquent VσλT=VρTV_{{\sigma\lambda}}^{T}=V_{\rho}^{T}. D’où Vσλ=VρV_{{\sigma\lambda}}=V_{\rho}.

Étant donné (σ,λ)(\sigma,\lambda), on définit ρ=(τi,ki0,ki1)1in\rho={(\tau_{i},k_{{i0}},k_{{i1}})}_{{1\leq i\leq n}}ki1,ki0k_{{i1}},k_{{i0}} sont donnés par les divisions euclidiennes λ(αi)=miΔiki1+ki0\lambda(\alpha_{i}^{\vee})=m_{i}\Delta_{i}k_{{i1}}+k_{{i0}} et τi=(ϵimi)λ(αi)/miσi\tau_{i}={(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{{\left\lfloor\lambda(\alpha_{i}^{\vee})/% m_{i}\right\rfloor}}}\sigma_{i}. On définit de même ρ\rho^{{\prime}} à partir de (σ,λ)(\sigma^{{\prime}},\lambda^{{\prime}}). Si il existe vVσ,λTVσ,λTv\in V_{{\sigma,\lambda}}^{T}\cap V_{{\sigma^{{\prime}},\lambda^{{\prime}}}}^{T} tel que v0v\neq 0, alors a fortiori vVρVρv\in V_{{\rho}}\cap V_{{\rho^{{\prime}}}} et donc Vρ=VρV_{{\rho}}=V_{{\rho^{{\prime}}}}. Par conséquent ρ=ρ\rho=\rho^{{\prime}} i.e. τ=τ\tau=\tau^{{\prime}} et i,ki1=ki1ki0=ki0\forall i,k_{{i1}}=k_{{i1}}^{{\prime}}\wedge k_{{i0}}=k_{{i0}}^{{\prime}}. On en déduit (σ,λ)=(σ,λ)(\sigma,\lambda)=(\sigma^{{\prime}},\lambda^{{\prime}}). ∎

Proposition 3.3.3.

Soit VV un Uϵres{U_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}}-module de dimension finie.

  1. 1.

    Soient λP\lambda\in P et T(*)nT\in{({\mathbb{N}}^{*})}^{n}. Alors pour tout 1jn1\leq j\leq n on a:

    Xj±VσλTVσ,λ±αjTX_{j}^{\pm}V_{{\sigma\lambda}}^{T}\subseteq V_{{\sigma,\lambda\pm\alpha_{j}}}^% {T} (3.19)
    (Xj±)(mj)VσλTVσ,λ±mjαjT{(X_{j}^{\pm})}^{{(m_{j})}}V_{{\sigma\lambda}}^{T}\subseteq V_{{\sigma,\lambda% \pm m_{j}\alpha_{j}}}^{T} (3.20)
  2. 2.

    Pour tout σ{-1,1}n\sigma\in{\{-1,1\}}^{n}, λVλT\bigoplus_{{\lambda}}V_{{\lambda}}^{T} est un sous-module de VV. Si VV est irréductible V=λVσ,λ1=λVσ,λV=\bigoplus_{{\lambda}}V_{{\sigma,\lambda}}^{1}=\bigoplus_{{\lambda}}V_{{% \sigma,\lambda}} pour un certain σ{-1,1}n\sigma\in{\{-1,1\}}^{n}.

Démonstration.

Le second point se déduit facilement du premier et de la définition des VσλTV_{{\sigma\lambda}}^{T}. Rappelons ensuite que αj\alpha_{j} est donné par (1.12). Soient r{1,mj}r\in\{1,m_{j}\}, vVσλTv\in V_{{\sigma\lambda}}^{T} et supposons que (Xj±)(r)v0{(X_{j}^{\pm})}^{{(r)}}v\neq 0. Soit alors Vσr,λrTV_{{\sigma_{r},\lambda_{r}}}^{T} l’espace de poids auquel (Xj±)(r)v{(X_{j}^{\pm})}^{{(r)}}v appartient. Soit 1in1\leq i\leq n. Dans ce contexte, les formules de la proposition 3.2.6 s’écrivent

τir\displaystyle\tau_{{ir}} =(ϵimi)(ki0±raij)/miτi\displaystyle={(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{{\left\lfloor\left(k_{{i0}}\pm ra_{% {ij}}\right)/m_{i}\right\rfloor}}}\tau_{i}
=(ϵimi)Δiki1(ϵimi)Δiki1+(ki0±raij)/miτi\displaystyle={(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{\Delta_{i}k_{{i1}}}}{(\epsilon_{i}^% {{m_{i}}})}^{{\Delta_{i}k_{{i1}}+{\left\lfloor\left(k_{{i0}}\pm ra_{{ij}}% \right)/m_{i}\right\rfloor}}}\tau_{i}
=(ϵimi)Δiki1(ϵimi)(miΔiki1+ki0±raij)/miτi\displaystyle={(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{\Delta_{i}k_{{i1}}}}{(\epsilon_{i}^% {{m_{i}}})}^{{{\left\lfloor\left(m_{i}\Delta_{i}k_{{i1}}+k_{{i0}}\pm ra_{{ij}}% \right)/m_{i}\right\rfloor}}}\tau_{i}
=(ϵimi)(λ(αi)mi-(λ±rαj)(αi)mi)τi\displaystyle={(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{\left(\left\lfloor\frac{\lambda(% \alpha_{i}^{\vee})}{m_{i}}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{(\lambda\pm r\alpha_% {j})(\alpha_{i}^{\vee})}{m_{i}}\right\rfloor\right)}}\tau_{i}
σir=σi\displaystyle\mathbin{\Rightarrow}{\sigma_{{ir}}=\sigma_{i}}
ki0r\displaystyle k_{{i0r}} =ki0±raij-ki0±raijmimi\displaystyle=k_{{i0}}\pm ra_{{ij}}-{\left\lfloor\frac{k_{{i0}}\pm ra_{{ij}}}{% m_{i}}\right\rfloor}m_{i}
=Δiki1mi+ki0±raij-Δiki1mi+ki0±raijmimi\displaystyle=\Delta_{i}k_{{i1}}m_{i}+k_{{i0}}\pm ra_{{ij}}-{\left\lfloor\frac% {\Delta_{i}k_{{i1}}m_{i}+k_{{i0}}\pm ra_{{ij}}}{m_{i}}\right\rfloor}m_{i}
=(λ±rαj)(αi)-(λ±rαj)(αi)mimi\displaystyle=(\lambda\pm r\alpha_{j})(\alpha_{i}^{\vee})-{\left\lfloor\frac{(% \lambda\pm r\alpha_{j})(\alpha_{i}^{\vee})}{m_{i}}\right\rfloor}m_{i}
Δir\displaystyle\Delta_{{ir}} =(-1)(mi+1)τirmi(ϵimi)ki0r+1\displaystyle={(-1)}^{{(m_{i}+1)}}\tau_{{ir}}^{{m_{i}}}{(\epsilon_{i}^{{m_{i}}% })}^{{k_{{i0r}}+1}}
=(-1)(mi+1)((ϵimi)(ki0±raij)/mimiτimi)((ϵimi)ki0±raij-(ki0±raij)/mimi+1)\displaystyle={(-1)}^{{(m_{i}+1)}}\left({(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{{\left% \lfloor\left(k_{{i0}}\pm ra_{{ij}}\right)/m_{i}\right\rfloor}m_{i}}}\tau_{i}^{% {m_{i}}}\right)\left({(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{k_{{i0}}\pm ra_{{ij}}-{\left% \lfloor(k_{{i0}}\pm ra_{{ij}})/m_{i}\right\rfloor}m_{i}+1}}\right)
=Δi(ϵimi)raij\displaystyle=\Delta_{i}{(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{ra_{{ij}}}}
Δirki1r\displaystyle\Delta_{{ir}}k_{{i1r}} =Δir(ϵimi)raij(ki1+ki0±raijmiΔi)\displaystyle=\Delta_{{ir}}{(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{ra_{{ij}}}}\left(k_{{i% 1}}+\left\lfloor\frac{k_{{i0}}\pm ra_{{ij}}}{m_{i}}\right\rfloor\Delta_{i}\right)
=Δiki1+ki0±raijmi\displaystyle=\Delta_{i}k_{{i1}}+\left\lfloor\frac{k_{{i0}}\pm ra_{{ij}}}{m_{i% }}\right\rfloor
=miΔiki1+ki0±raijmi\displaystyle=\left\lfloor\frac{m_{i}\Delta_{i}k_{{i1}}+k_{{i0}}\pm ra_{{ij}}}% {m_{i}}\right\rfloor
=(λ±rαj)(αi)mi\displaystyle={\left\lfloor\frac{(\lambda\pm r\alpha_{j})(\alpha_{i}^{\vee})}{% m_{i}}\right\rfloor}

Cela achève la démonstration. ∎

Un module VV est dit de type σ{-1,1}n\sigma\in{\{-1,1\}}^{n} si V=λVσ,λV=\bigoplus_{{\lambda}}V_{{\sigma,\lambda}}. En particulier, tout module irréductible possède un type bien défini. Si ll est impair, alors cette définition coïncide avec la notion définie dans la remarque 3.2.7. L’automorphisme ϕσ\phi_{\sigma} mentionnée dans cette remarque permet de réduire l’étude aux modules de plus haut poids de type 1. Dans la suite, on s’intéressera surtout aux modules de type 1 et on écrira alors simplement Vϵres(λ){V_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}}(\lambda) pour Vϵres(1,λ){V_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}}(1,\lambda) et Vϵres(λ)λ{V_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}}(\lambda)_{{\lambda^{{\prime}}}} pour Vϵres(1,λ)1,λ{V_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}}(1,\lambda)_{{1,\lambda^{{\prime}}}}. De même pour Wϵres{W_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}}.

On peut alors de nouveau procéder comme dans le cas classique. Un Uϵres{U_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}}-module de plus haut poids λP\lambda\in P de type σ{-1,1}n\sigma\in{\{-1,1\}}^{n} est un module engendré par un vecteur vσ,λv_{{\sigma,\lambda}} primitif i.e. satisfaisant vσ,λVσ,λv_{{\sigma,\lambda}}\in V_{{\sigma,\lambda}} et Xi+vσ,λ=(Xi+)(mi)vσ,λ=0X_{i}^{+}v_{{\sigma,\lambda}}={(X_{i}^{+})}^{{(m_{i})}}v_{{\sigma,\lambda}}=0 pour tout 1in1\leq i\leq n. On obtient la décomposition en somme directe d’espaces de poids:

V=λλVσ,λV=\bigoplus_{{\lambda^{{\prime}}\leq\lambda}}V_{{\sigma,\lambda^{{\prime}}}} (3.21)

avec dimV(σ,λ)=1\dim V_{{(\sigma,\lambda)}}=1. Alors λ\lambda est uniquement déterminé. Les éléments de Vσ,λV_{{\sigma,\lambda}} sont appelés vecteurs de plus hauts poids. De plus, VV possède un unique quotient irréductible. Cela conduit a la définition suivante:

Définition 3.3.4.

Soit Vq(σ,λ)V_{q}(\sigma,\lambda) l’unique UqU_{q}-module irréductible de plus haut poids (σiqiλ(αi))1in{\left(\sigma_{i}q_{i}^{{\lambda(\alpha_{i}^{\vee})}}\right)}_{{1\leq i\leq n}} pour un certain σ{-1,1}n\sigma\in{\{-1,1\}}^{n} et un certain λP+\lambda\in P^{+}. Soit vλv_{\lambda} un vecteur de plus haut poids. On définit V𝒜res(σ,λ){V_{\mathcal{A}}^{{\mathrm{res}}}}(\sigma,\lambda) le sous U𝒜res{U_{\mathcal{A}}^{{\mathrm{res}}}}-module de Vq(σ,λ)V_{q}(\sigma,\lambda) engendré par vλv_{\lambda} et on définit le module de Weyl

Wϵres(σ,λ)=V𝒜res(σ,λ)𝒜{W_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}}(\sigma,\lambda)={V_{\mathcal{A}}^{{\mathrm{res% }}}}(\sigma,\lambda)\otimes_{\mathcal{A}}{\mathbb{C}}

via le morphisme 𝒜\mathcal{A}\rightarrow{\mathbb{C}} qui à qq associe ϵ\epsilon. C’est un module de dimension finie de plus haut poids λ\lambda et de type σ\sigma. On note alors Vϵres(σ,λ){V_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}}(\sigma,\lambda) son unique quotient irréductible. Par un argument classique c’est, à isomorphisme près, l’unique module irréductible de plus haut poids λ\lambda et de type σ\sigma.

Remarque 3.3.5.

Soit vV𝒜res(σ,λ)ρVq(σ,λ)ρv\in{{V_{\mathcal{A}}^{{\mathrm{res}}}}(\sigma,\lambda)}_{{\rho^{{\prime}}}}% \subseteq{V_{q}(\sigma,\lambda)}_{{\rho^{{\prime}}}}ρ=(σiqiλ(αi))1in\rho^{{\prime}}={\left(\sigma_{i}q_{i}^{{\lambda^{{\prime}}(\alpha_{i}^{\vee})% }}\right)}_{{1\leq i\leq n}} pour λλ\lambda^{{\prime}}\leq\lambda (cf la remarque 3.1.5). Alors par définition, on a Kiv=σiqiλ(αi)vK_{i}v=\sigma_{i}q_{i}^{{\lambda^{{\prime}}(\alpha_{i}^{\vee})}}v. Par (2.13) et (1.3), on en déduit aisément que [Ki;0mi]qiv=σimi[λ(αi)mi]qiv{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0}}{m_{i}}}_{{q_{i}}}v=\sigma_{i}^{{m_{i}}}{% \genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{\lambda^{{\prime}}(\alpha_{i}^{\vee})}{m_{i}}}_{{q_{i}% }}v. Ceci montre que v1Wϵres(σ,λ)σ,λv\otimes 1\in{{W_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}}(\sigma,\lambda)}_{{\sigma,% \lambda^{{\prime}}}} et les espaces de poids ”coïncident”. Cela justifie d’une autre manière les changements de signes opérés dans la définition 3.3.1 et la proposition 3.3.2.

L’exemple qui suit est tiré de [CP1994]:

Exemple 3.3.6.

On suppose 𝔤=𝔰𝔩2\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_{2} et λ\lambda\in{\mathbb{N}}. Alors à partir de (3.3.6), on trouve une base {v0(λ),v1(λ),,vλ(λ)}\{v_{0}^{{(\lambda)}},v_{1}^{{(\lambda)}},...,v_{\lambda}^{{(\lambda)}}\} de Wϵres(λ){W_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}}(\lambda) sur laquelle l’action de Uϵres{U_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}} est donnée par:

K1vr(λ)=ϵλ-2rvr(λ)K_{1}v_{r}^{{(\lambda)}}=\epsilon^{{\lambda-2r}}v_{r}^{{(\lambda)}}
[K1;0m]ϵvr(λ)=(-1)(m+1)(ϵm)λ-2r+1λ-2rmvr(λ){\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{1}};{0}}{m}}_{{\epsilon}}v_{r}^{{(\lambda)}}={(-1% )}^{{(m+1)}}{(\epsilon^{m})}^{{\lambda-2r+1}}\left\lfloor\frac{\lambda-2r}{m}% \right\rfloor v_{r}^{{(\lambda)}}
X1+vr(λ)=[λ-r+1]ϵvr-1(λ)X_{1}^{+}v_{r}^{{(\lambda)}}={\left[{\lambda-r+1}\right]}_{{\epsilon}}v_{{r-1}% }^{{(\lambda)}}
X1-vr(λ)=[r+1]ϵvr+1(λ)X_{1}^{-}v_{r}^{{(\lambda)}}={\left[{r+1}\right]}_{{\epsilon}}v_{{r+1}}^{{(% \lambda)}}
(X1+)(m)vr(λ)=[λ-r+mm]ϵvr-m(λ)=(ϵm)λ-r(λ-rm+1)vr-m(λ){(X_{1}^{+})}^{{(m)}}v_{r}^{{(\lambda)}}={\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{\lambda-r+m}% {m}}_{{\epsilon}}v_{{r-m}}^{{(\lambda)}}={(\epsilon^{m})}^{{\lambda-r}}{\left(% \left\lfloor\frac{\lambda-r}{m}\right\rfloor+1\right)}v_{{r-m}}^{{(\lambda)}}
(X1-)(m)vr(λ)=[r+mm]ϵvr+m(λ)=(ϵm)r(rm+1)vr+m(λ){(X_{1}^{-})}^{{(m)}}v_{r}^{{(\lambda)}}={\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{r+m}{m}}_{{% \epsilon}}v_{{r+m}}^{{(\lambda)}}={(\epsilon^{m})}^{{r}}{\left(\left\lfloor% \frac{r}{m}\right\rfloor+1\right)}v_{{r+m}}^{{(\lambda)}}

où pour r{0,1,,λ}r\notin\{0,1,...,\lambda\}, on pose vr=0v_{r}=0. Si VV^{{\prime}} est le sous-espace de Wϵres(λ){W_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}}(\lambda) engendré par les vecteurs vr(λ)v_{r}^{{(\lambda)}} qui satisfont λ0<r0<mi\lambda_{0}<r_{0}<m_{i} et r1<λ1r_{1}<\lambda_{1} (où comme d’habitude λ=miλ1+λ0\lambda=m_{i}\lambda_{1}+\lambda_{0} et r=mir1+r0r=m_{i}r_{1}+r_{0} sont les divisions euclidiennes par mim_{i}) alors VV^{{\prime}} est un sous-module de Wϵres(λ){W_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}}(\lambda) et

Vϵres(λ)=Wϵres(λ)/V{V_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}}(\lambda)={W_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}}(% \lambda)/V^{{\prime}}

Le théorème suivant généralise la proposition 6.4 de [Lus1989]:

Theorème 3.3.7.

Tout Uϵres{U_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}}-module irréductible de dimension finie est isomorphe à Vϵres(σ,λ){V_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}}(\sigma,\lambda) pour un certain (σ,λ){-1,+1}n×P+(\sigma,\lambda)\in{\{-1,+1\}}^{n}\times P^{+}.

Démonstration.

Soit VV un tel module et σ\sigma son type. Par la proposition 3.3.3, V=λVσ,λ1=λVσ,λV=\bigoplus_{{\lambda}}V_{{\sigma,\lambda}}^{1}=\bigoplus_{{\lambda}}V_{{% \sigma,\lambda}}. Soit λ\lambda maximal parmi les poids de VV. Alors tout vecteur non nul vσ,λVσ,λv_{{\sigma,\lambda}}\in V_{{\sigma,\lambda}} est primitif. Comme de plus VV est irréductible, vσ,λv_{{\sigma,\lambda}} engendre VV et VVϵres(σ,λ)V\cong{V_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}}(\sigma,\lambda).

Il reste à montrer que λP+\lambda\in P^{+}. Par le premier point du lemme 3.2.2 et par (2.46), il existe un p>0p>0 tel que

(Xi-)((p-1)mi)vσ,λ0{(X_{i}^{-})}^{{((p-1)m_{i})}}v_{{\sigma,\lambda}}\neq 0
(Xi-)(pmi)vσ,λ=0{(X_{i}^{-})}^{{(pm_{i})}}v_{{\sigma,\lambda}}=0

On a alors (Xi+)(mi)(Xi-)(pmi)vσ,λ=0{(X_{i}^{+})}^{{(m_{i})}}{(X_{i}^{-})}^{{(pm_{i})}}v_{{\sigma,\lambda}}=0. On utilise ensuite la relation (2.25). Seul le terme en t=mit=m_{i} est non nul et on trouve

(Xi+)((p-1)mi)[Ki;-(p-1)mimi]ϵivσ,λ=0{(X_{i}^{+})}^{{((p-1)m_{i})}}{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{-(p-1)m_{i}}}{% m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}v_{{\sigma,\lambda}}=0

On utilise alors (3.9), pour déduire

(Xi+)((p-1)mi)[Ki;-(p-1)mimi]ϵivσ,λ=(ϵimi)(p-1)miΔi(λ)(λ(αi)mi-(p-1))(Xi+)((p-1)mi)vσ,λ{(X_{i}^{+})}^{{((p-1)m_{i})}}{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{-(p-1)m_{i}}}{% m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}v_{{\sigma,\lambda}}={(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{(p-1% )m_{i}}}\Delta_{i}(\lambda)\left(\left\lfloor\frac{\lambda(\alpha_{i}^{\vee})}% {m_{i}}\right\rfloor-(p-1)\right){(X_{i}^{+})}^{{((p-1)m_{i})}}v_{{\sigma,% \lambda}}

d’où

λ(αi)mi=p-1\left\lfloor\frac{\lambda(\alpha_{i}^{\vee})}{m_{i}}\right\rfloor=p-1

i.e.

(p-1)miλ(αi)<pmi(p-1)m_{i}\leq\lambda(\alpha_{i}^{\vee})<pm_{i} (3.22)

En particulier, λ(αi)0\lambda(\alpha_{i}^{\vee})\geq 0. ∎

Concluons cette section en observant que l’on a malheureusement pas l’équivalent de la proposition 3.1.3 pour la représentation restreinte. Conservons les notations de l’exemple 3.3.6 et supposons de plus l=2m=4l=2m=4 et λ=2\lambda=2. Alors on voit facilement que pour tout v=i=02aivi(2)Wϵres(2)v=\sum_{{i=0}}^{{2}}a_{i}v_{i}^{{(2)}}\in{W_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}}(2) on a (X1+)(2)v=a2v0(2){(X_{1}^{+})}^{{(2)}}v=a_{2}v_{0}^{{(2)}}, (X1-)(2)v=a0v2(2){(X_{1}^{-})}^{{(2)}}v=a_{0}v_{2}^{{(2)}}. De plus par (2.32), X1+v=a2[1]ϵv1(2)=a2v1(2)X_{1}^{+}v=a_{2}{\left[{1}\right]}_{{\epsilon}}v_{1}^{{(2)}}=a_{2}v_{1}^{{(2)}} et X1-v=a0[1]ϵv1(2)=a0v1(2)X_{1}^{-}v=a_{0}{\left[{1}\right]}_{{\epsilon}}v_{1}^{{(2)}}=a_{0}v_{1}^{{(2)}}. En particulier v1(2)v_{1}^{{(2)}} engendre un sous-module et c’est le seul sous-module propre de Wϵres(2){W_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}}(2). Cela montre que Wϵres(2){W_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}}(2) est réductible mais pas complètement réductible.