3.3 Représentations irréductibles de la spécialisation restreinte
Dans cette section, nous allons reformuler les paramètres des représentations
de la spécialisation restreinte, de façon à pouvoir classifier
celles qui sont irréductibles comme des représentations de plus haut poids.
Nous avons aussi vu l’importance du paramètre
qui intuitivement donne la direction dans laquelle va évoluer
. Pour conserver le fait que l’action de
augmente et que celle de le diminue, il est
naturel de considérer à la place le paramètre . De même, on a
vu que l’action de modifie le paramère en le multipliant
par une puissance de . Il est donc judicieux de modifier
légèrement la définition de ces coefficients en les multipliant par une
puissance de bien choisie, de façon à ce que le paramètre
devienne invariant par l’action de . la définition
3.3.1 et la proposition 3.3.2
expriment ainsi le sous-espace en
fonction de
et de
.
Les changements de signes sont répercutés dans la définition de
.
Définition 3.3.1.
Soit un -module de dimension finie,
, et . On pose
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(3.17) |
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où .
On définit l’espace de poids
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(3.18) |
Proposition 3.3.2.
Pour tout poids ,
posons
et
.
Alors et .
De plus les espaces de poids sont en somme directe
et .
Démonstration.
On se donne un poids
et on pose
comme dans l’énoncé. Alors par définition
est la division
euclidienne de par .
On utilise le lemme 3.2.8: On a
bien
,
et
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d’où on déduit . Par conséquent
. D’où .
Étant donné , on définit
où
sont donnés par les divisions euclidiennes
et
. On définit de même
à partir de . Si il existe
tel que ,
alors a fortiori et donc .
Par conséquent i.e.
et
. On en déduit
.
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Proposition 3.3.3.
Soit un -module de dimension finie.
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1.
Soient et .
Alors pour tout on a:
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(3.19) |
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(3.20) |
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2.
Pour tout ,
est un sous-module de
. Si est irréductible
pour un certain
.
Démonstration.
Le second point se déduit facilement du premier
et de la définition des .
Rappelons ensuite que est donné par (1.12).
Soient , et supposons que
.
Soit alors l’espace de
poids auquel appartient.
Soit . Dans ce contexte, les formules de la proposition
3.2.6 s’écrivent
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Cela achève la démonstration.
∎
Un module est dit de type si
. En particulier, tout module
irréductible possède un type bien défini.
Si est impair, alors cette définition coïncide avec
la notion définie dans la remarque 3.2.7.
L’automorphisme mentionnée dans cette remarque permet de réduire
l’étude aux modules de plus haut poids de type 1.
Dans la suite, on s’intéressera surtout aux modules de type 1 et on écrira
alors simplement pour
et pour
. De même pour .
On peut alors de nouveau procéder comme dans le cas classique.
Un -module de plus haut poids
de type est un
module engendré par un vecteur primitif i.e. satisfaisant
et
pour tout . On obtient la décomposition en somme directe
d’espaces de poids:
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(3.21) |
avec . Alors est uniquement déterminé.
Les éléments de
sont appelés vecteurs de plus hauts poids.
De plus, possède un unique quotient irréductible. Cela conduit a la
définition suivante:
Définition 3.3.4.
Soit l’unique -module irréductible de plus haut
poids
pour un certain et un certain .
Soit un vecteur de plus haut poids.
On définit le sous -module de
engendré par et on définit le module de Weyl
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via le morphisme qui à associe . C’est
un module de dimension finie de plus haut poids et de type .
On note alors son unique quotient irréductible. Par
un argument classique c’est, à isomorphisme près, l’unique module irréductible
de plus haut poids et de type .
L’exemple qui suit est tiré de [CP1994]:
Exemple 3.3.6.
On suppose et .
Alors à partir de (3.3.6), on trouve une base
de
sur laquelle l’action de est donnée par:
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où pour , on pose .
Si est le sous-espace de engendré par les vecteurs
qui satisfont et
(où comme d’habitude et
sont les divisions euclidiennes par ) alors
est un sous-module de et
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Le théorème suivant généralise la proposition 6.4 de [Lus1989]:
Theorème 3.3.7.
Tout -module irréductible de dimension finie est isomorphe à
pour un certain
.
Démonstration.
Soit un tel module et son type.
Par la proposition 3.3.3,
. Soit maximal
parmi les poids de . Alors tout vecteur non nul
est primitif. Comme de plus est
irréductible, engendre et
.
Il reste à montrer que . Par le premier point du lemme
3.2.2 et par (2.46), il existe un tel que
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On a alors . On
utilise ensuite la relation (2.25). Seul le terme en
est non nul et on trouve
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On utilise alors (3.9), pour déduire
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(3.22) |
En particulier, .
∎
Concluons cette section en observant que l’on a malheureusement pas l’équivalent
de la proposition 3.1.3 pour la représentation restreinte.
Conservons les notations de l’exemple 3.3.6 et supposons de plus
et . Alors on voit facilement que
pour tout on a
,
. De plus par
(2.32),
et
. En particulier
engendre un sous-module et c’est le seul sous-module propre de
. Cela montre que est réductible mais pas
complètement réductible.