Frédéric Wang Subscribe   About Me   Blog Archive   Mathematics   Computer Science

1 Prérequis

1.5 Algèbre de Hopf

Rappelons qu’une algèbre AA sur un anneau commutatif kk est un kk-module muni d’une multiplication μ:AAA\mu:A\otimes A\rightarrow A et d’une unité i:kAi:k\rightarrow A (qui sont kk-linéaires) dont les propriétés peuvent être décrites par les diagrammes commutatifs suivants:

AkidiAAiidkAμA=A=A\begin{matrix}A\otimes k&\cd@stack{\rightarrowfill@}{\mathrm{id}\otimes i}{}&A% \otimes A&\cd@stack{\leftarrowfill@}{i\otimes\mathrm{id}}{}&k\otimes A\\ {\cong}{\Big\downarrow}&&{}{\Big\downarrow}{\mu}&&{}{\Big\downarrow}{\cong}&&% \\ A&\wideequals@&A&\wideequals@&A\\ \end{matrix}
AAAμidAAidμμAAμA\begin{matrix}A\otimes A\otimes A&\cd@stack{\rightarrowfill@}{\mu\otimes% \mathrm{id}}{}&A\otimes A\\ {\mathrm{id}\otimes\mu}{\Big\downarrow}&&{}{\Big\downarrow}{\mu}&&\\ A\otimes A&\cd@stack{\rightarrowfill@}{}{\mu}&A\end{matrix}

On définit alors la notion duale de coalgèbre qui est un kk-module muni d’applications kk-linéaires Δ:AAA\Delta:A\rightarrow A\otimes A (la comultiplication) et ϵ:Ak\epsilon:A\rightarrow k (la counité) telles que les diagrammes suivants commutent:

AkidϵAAϵidkAΔA=A=A\begin{matrix}A\otimes k&\cd@stack{\leftarrowfill@}{\mathrm{id}\otimes\epsilon% }{}&A\otimes A&\cd@stack{\rightarrowfill@}{\epsilon\otimes\mathrm{id}}{}&k% \otimes A\\ {\cong}{\Big\uparrow}&&{}{\Big\uparrow}{\Delta}&&{}{\Big\uparrow}{\cong}&&\\ A&\wideequals@&A&\wideequals@&A\\ \end{matrix}
AAAΔidAAidΔΔAAΔA\begin{matrix}A\otimes A\otimes A&\cd@stack{\leftarrowfill@}{\Delta\otimes% \mathrm{id}}{}&A\otimes A\\ {\mathrm{id}\otimes\Delta}{\Big\uparrow}&&{}{\Big\uparrow}{\Delta}&&\\ A\otimes A&\cd@stack{\leftarrowfill@}{}{\Delta}&A\end{matrix}

Si AA possède à la fois une structure d’algèbre et de coalgèbre, elle est appelée bialgèbre si les Δ,ϵ\Delta,\epsilon sont des morphismes d’algèbre. Elle est appelée algèbre de Hopf si elle possède de plus une application kk-linéaire bijective S:AAS:A\rightarrow A (l’antipode) telle que le diagramme suivant commute:

AASidAAidSAAΔμΔAiϵAiϵA\begin{matrix}A\otimes A&\cd@stack{\rightarrowfill@}{S\otimes\mathrm{id}}{}&A% \otimes A&\cd@stack{\leftarrowfill@}{\mathrm{id}\otimes S}{}&A\otimes A\\ {\Delta}{\Big\uparrow}&&{}{\Big\downarrow}{\mu}&&{}{\Big\uparrow}{\Delta}&&\\ A&\cd@stack{\rightarrowfill@}{i\circ\epsilon}{}&A&\cd@stack{\leftarrowfill@}{i% \circ\epsilon}{}&A\\ \end{matrix}

Une algèbre de Hopf est commutative si la multiplication μ\mu l’est. Si τ:AAA\tau:A\otimes A\rightarrow A est défini par τ(a1a2)=a2a1\tau(a_{1}\otimes a_{2})=a_{2}\otimes a_{1} alors la notion duale de cocommutativité est naturellement définie par l’égalité τΔ=Δ\tau\Delta=\Delta.

Étant donnée une algèbre de Hopf AA, un kk-module VV est un AA-module s’il existe une application kk-linéaire avava\otimes v\mapsto a\cdot v de AVA\otimes V dans VV telle que μ(a2a1)v=a2(a1v){\mu\left(a_{2}\otimes a_{1}\right)}\cdot v=a_{2}\cdot{(a_{1}\cdot v)} et i(1)v=vi(1)\cdot v=v. On dit aussi que ρ:a(vav)\rho:a\mapsto\mathop{(v\mapsto{a\cdot v})} est une représentation d’algèbre de Hopf. Si V1V_{1} et V2V_{2} sont deux AA-modules on peut munir leur produit tensoriel V1V2V_{1}\otimes V_{2} d’une structure de AAA\otimes A-module en faisant agir AA sur chaque composante: a(v1v2)=(av1)(av2)a\cdot\left(v_{1}\otimes v_{2}\right)=\left(a\cdot v_{1}\right)\otimes\left(a% \cdot v_{2}\right). On obtient une structure de AA-module donnée par

a(v1v2)=(Δa)(v1v2)a\cdot\left(v_{1}\otimes v_{2}\right)=(\Delta a)\cdot\left(v_{1}\otimes v_{2}\right) (1.15)

La coassociativité de Δ\Delta entraine alors l’associativité du produit tensoriel: si V1V_{1}, V2V_{2}, V3V_{3} sont trois AA-modules alors (V1V2)V3V1(V2V3)(V_{1}\otimes V_{2})\otimes V_{3}\cong V_{1}\otimes(V_{2}\otimes V_{3}). L’antipode permet aussi de définir une structure de AA-module sur le dual V*=Homk(V,k)V^{*}=\mathrm{Hom}_{k}(V,k). Si fV*f\in V^{*} et vVv\in V on pose pour tout aAa\in A

(af)(v)=f(S(a)v)(a\cdot f)(v)=f(S(a)\cdot v) (1.16)