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3 Représentations de dimension finie

3.2 Représentations de la spécialisation restreinte

Dans cette section, nous nous intéressons aux représentations de la spécialisation restreinte. Comme indiqué plus haut, nous considérons des modules sur {\mathbb{C}}. Cela est justifié par la remarque suivante:

Remarque 3.2.1.

Supposons que VV soit une représentation de Uϵres{U_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}} de dimension finie définie comme un module sur {\mathbb{C}} (si VV est un module sur 𝒜\mathcal{A} cette structure peut être étendue en une structure VV\otimes{\mathbb{C}} de {\mathbb{C}}-espace vectoriel et l’action de Uϵres{U_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}} étendue par linéarité). Les KiK_{i} agissent comme des opérateurs commutant deux à deux et annulés par le polynôme X2m-1X^{{2m}}-1 scindé à racines simples dans (ϵ){\mathbb{Q}}(\epsilon) donc les KiK_{i} sont simultanément diagonalisables sur (ϵ){\mathbb{Q}}(\epsilon). En fait, pour tout 1in1\leq i\leq n, Ki2mi=1K_{i}^{{2m_{i}}}=1 donc KiK_{i} agit comme un opérateur ayant des valeurs propres dans l’ensemble U2miU_{{2m_{i}}}. On a en fait U2mi±Ul𝒜U_{{2m_{i}}}\subseteq\pm U_{{l}}\subseteq\mathcal{A} d’après (2.38). Comme ϵ\epsilon est algébrique, (ϵ)=[ϵ]{\mathbb{Q}}(\epsilon)={\mathbb{Q}}[\epsilon]. Soit (vi)1idimV{(v_{i})}_{{1\leq i\leq\dim V}} une base de VV et v=i=1dimV(j=0l-1vijϵj)(vi1)V(ϵ)v=\sum_{{i=1}}^{{\dim V}}\left({\sum_{{j=0}}^{{l-1}}v_{{ij}}\epsilon^{j}}% \right)(v_{i}\otimes 1)\in V\otimes{\mathbb{Q}}(\epsilon) un vecteur propre commun pour les KiK_{i}. On a vijv_{{ij}}\in{\mathbb{Q}} et en multipliant vv par un entier bien choisi on peut supposer vijv_{{ij}}\in{\mathbb{Z}}, ce qui donne une diagonalisation dans 𝒜\mathcal{A} de l’action des KiK_{i} sur VV. De façon similaire, les Ki,[Ki;0mi]ϵiK_{i},{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}} agissent comme des opérateurs commutant deux à deux et la proposition 3.2.2 montre que les valeurs propres de l’action de [Ki;0mi]ϵi{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}} sont dans 𝒜{\mathbb{Z}}\subseteq\mathcal{A}. On peut alors obtenir une réduction dans 𝒜\mathcal{A}.

La proposition 3.2.2 est une généralisation de la proposition 5.1 de [Lus1989]:

Proposition 3.2.2.

Soit VV une représentation de dimension finie de Uϵres{U_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}}. Alors

  1. 1.

    Les Xi±X_{i}^{\pm}, (Xi±)(mi){(X_{i}^{\pm})}^{{(m_{i})}} agissent de façon nilpotente sur VV

  2. 2.

    Les valeurs propres de l’action de [Ki;0mi]ϵi{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}} sur VV sont entières.

Démonstration.

La nilpotence des Xi±X_{i}^{\pm} est impliquée par celle des (Xi±)(mi){(X_{i}^{\pm})}^{{(m_{i})}} si mi=1m_{i}=1 (en effet dans ce cas Xi±=(Xi±)(mi)X_{i}^{\pm}={(X_{i}^{\pm})}^{{(m_{i})}}). Sinon, on sait déjà que les Xi±X_{i}^{\pm} sont nilpotents par la proposition 2.3.7.

On travaille dans la sous-algèbre 𝔤i\mathfrak{g}_{i} de Uϵres{U_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}} engendrée par Ki±1,Xi±,[Ki;0mi]ϵiK_{i}^{{\pm 1}},X_{i}^{{\pm}},{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0}}{m_{i}}}_{{% \epsilon_{i}}}. KiK_{i} commute avec [Ki;0mi]ϵi{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}} et Kimi=1K_{i}^{{m_{i}}}=1 donc on peut écrire une décomposition en sous-espaces caractéristiques V=σ,k0,k1Vσ,k0,k1V=\bigoplus_{{\sigma,k_{0},k_{1}}}V_{{\sigma,k_{0},k_{1}}}, où sur chaque Vσ,k0,k1V_{{\sigma,k_{0},k_{1}}}, KiK_{i} agit par multiplication par σϵik0\sigma\epsilon_{i}^{{k_{0}}} et [Ki;0mi]ϵi-k1{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}-k_{1} agit de façon nilpotente. Par (2.38), on a plus précisément σ{-1,+1}\sigma\in\{-1,+1\} et k0/mik_{0}\in{\mathbb{Z}}/m_{i}{\mathbb{Z}} et a priori k1k_{1}\in{\mathbb{C}}. On considère enfin un vecteur vVσ,k0,k1v\in V_{{\sigma,k_{0},k_{1}}}.

Pour tout r*r\in{\mathbb{N}}^{*}, on a Ki(Xi±)(r)v=ϵi±2r(Xi±)(r)Kiv=σϵik0±2r(Xi±)(r)vK_{i}{(X_{i}^{\pm})}^{{(r)}}v=\epsilon_{i}^{{\pm 2r}}{(X_{i}^{\pm})}^{{(r)}}K_% {i}v=\sigma\epsilon_{i}^{{k_{0}\pm 2r}}{(X_{i}^{\pm})}^{{(r)}}v. Pour r=mir=m_{i} on trouve Ki(Xi±)(mi)v=σϵik0(Xi±)(mi)vK_{i}{(X_{i}^{\pm})}^{{(m_{i})}}v=\sigma\epsilon_{i}^{{k_{0}}}{(X_{i}^{\pm})}^% {{(m_{i})}}v. Pour r=1r=1 on trouve que Ki(Xi±v)=σϵik0±2(Xi±v)K_{i}{(X_{i}^{\pm}v)}=\sigma\epsilon_{i}^{{k_{0}\pm 2}}(X_{i}^{\pm}v).

On garde toujours r*r\in{\mathbb{N}}^{*}. Les formules (2.19) et (2.20) du lemme 2.2.6 montrent que [Ki;±2rmi]ϵi=[Ki;0mi]ϵi+Yr±{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{\pm 2r}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}={\genfrac{% [}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}+Y_{r}^{\pm}[Ki;0mi]ϵi{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}} est le terme d’indice s=0s=0 dans les formules du lemme et Yr±Y_{r}^{\pm} la somme des termes d’indices s>0s>0. De plus Yr±Y_{r}^{\pm} appartient à la sous-algèbre engendrée par Ki,Ki-1K_{i},K_{i}^{{-1}}. Par conséquent xx est un vecteur propre de Yr±Y_{r}^{\pm} pour une certaine valeur propre λr±\lambda_{r}^{\pm} dont (2.19) et (2.20) montrent qu’elle ne ne dépend que de σϵik0\sigma\epsilon_{i}^{{k_{0}}}, mim_{i}, ϵi\epsilon_{i} et rr. Considérons alors l’action de [Ki;0mi]ϵi-(k1+λr±){\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}-(k_{1}+\lambda_% {r}^{\pm}) sur (Xi±)(r)v{(X_{i}^{\pm})}^{{(r)}}v:

([Ki;0mi]ϵi-(k1+λr±))(Xi±)(r)v\displaystyle\left({\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i% }}}-(k_{1}+\lambda_{r}^{\pm})\right){(X_{i}^{\pm})}^{{(r)}}v =(Xi±)(r)([Ki;±2rmi]ϵi-(k1+λr±))v\displaystyle={(X_{i}^{\pm})}^{{(r)}}\left({\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{% \pm 2r}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}-(k_{1}+\lambda_{r}^{\pm})\right)v
=(Xi±)(r)([Ki;0mi]ϵi+Yr±-(k1+λr±))v\displaystyle={(X_{i}^{\pm})}^{{(r)}}\left({\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0% }}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}+Y_{r}^{\pm}-(k_{1}+\lambda_{r}^{\pm})\right)v
=(Xi±)(r)([Ki;0mi]ϵi-k1)v+(Xi±)(r)(Yr±-λr±)v\displaystyle={(X_{i}^{\pm})}^{{(r)}}\left({\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0% }}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}-k_{1}\right)v+{(X_{i}^{\pm})}^{{(r)}}\left(Y_{r}^{% \pm}-\lambda_{r}^{\pm}\right)v
=(Xi±)(r)([Ki;0mi]ϵi-k1)v\displaystyle={(X_{i}^{\pm})}^{{(r)}}\left({\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0% }}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}-k_{1}\right)v

Maintenant, ([Ki;0mi]ϵi-k1)vVσ,k0,k1\left({\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}-k_{1}% \right)v\in V_{{\sigma,k_{0},k_{1}}} et on peut donc répéter ce calcul ce qui donne pour tout p1p\geq 1, ([Ki;0mi]ϵi-(k1+λr±))p((Xi±)(r)v)=(Xi±)(r)([Ki;0mi]ϵi-k1)pv{\left({\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}-(k_{1}+% \lambda_{r}^{\pm})\right)}^{p}\left({(X_{i}^{\pm})}^{{(r)}}v\right)={(X_{i}^{% \pm})}^{{(r)}}{\left({\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0}}{m_{i}}}_{{\epsilon_% {i}}}-k_{1}\right)}^{p}v qui est nul pour pp assez grand. Ceci montre que (Xi±)(r)v{(X_{i}^{\pm})}^{{(r)}}v appartient au sous-espace caractéristique de [Ki;0mi]ϵi{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}} correspondant à la valeur propre k1+λr±k_{1}+\lambda_{r}^{\pm}.

Décrivons maintenant λr±\lambda_{r}^{\pm} de façon plus explicite. Les formules (2.19) et (2.20) donnent:

Yr-=1smi(-1)sϵi-2rs[2r+s-1s]ϵiKis[Ki;0mi-s]ϵiY_{r}^{-}=\sum_{{1\leq s\leq m_{i}}}{(-1)}^{s}\epsilon_{i}^{{-2rs}}{\genfrac{[% }{]}{0.0pt}{}{2r+s-1}{s}}_{{\epsilon_{i}}}K_{i}^{s}{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K% _{i}};{0}}{m_{i}-s}}_{{\epsilon_{i}}}
Yr+=1smiϵi-2rs[2rs]ϵiKi-s[Ki;0mi-s]ϵiY_{r}^{+}=\sum_{{1\leq s\leq m_{i}}}\epsilon_{i}^{{-2rs}}{\genfrac{[}{]}{0.0pt% }{}{2r}{s}}_{{\epsilon_{i}}}K_{i}^{{-s}}{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0}}{% m_{i}-s}}_{{\epsilon_{i}}}

Dans le cas particulier r=mir=m_{i}, (2.40) montre alors que seul le terme en s=mis=m_{i} est non nul et se simplifie pour donner λmi±=±2Δi\lambda_{{m_{i}}}^{\pm}=\pm 2\Delta_{i} avec

Δi=(-1)(mi+1)σmi(ϵimi)k0+1\Delta_{i}={(-1)}^{{(m_{i}+1)}}\sigma^{{m_{i}}}{(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{k_% {0}+1}} (3.1)

On a Δi{-1,+1}\Delta_{i}\in\{-1,+1\} et le signe ne dépend pas de k1k_{1}. Comme dimV<\dim V<\infty, les valeurs propres de [Ki;0mi]ϵi{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}} sont dans une partie bornée de {\mathbb{C}}. L’inclusion (Xi±)(kmi).Vσ,k0,k1Vσ,k0,k1±2kΔi{(X_{i}^{\pm})}^{{(km_{i})}}.V_{{\sigma,k_{0},k_{1}}}\subseteq V_{{\sigma,k_{0% },k_{1}\pm 2k\Delta_{i}}} pour tout k>0k>0 montre alors que (Xi±)(mi){(X_{i}^{\pm})}^{{(m_{i})}} agit de façon nilpotente sur VV.

Considérons maintenant le cas particulier r=1r=1 et mi2m_{i}\geq 2. On remarque que [2rs]ϵi{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{2r}{s}}_{{\epsilon_{i}}} vaut ϵi+ϵi-1\epsilon_{i}+\epsilon_{i}^{{-1}} si s=1s=1, vaut 1 si s=2s=2 et vaut 0 si s3s\geq 3. D’où

Y1+=ϵi-2(ϵi+ϵi-1)Ki-1[Ki;0mi-1]ϵi+ϵi-4Ki-2[Ki;0mi-2]ϵiY_{1}^{+}=\epsilon_{i}^{{-2}}(\epsilon_{i}+\epsilon_{i}^{{-1}})K_{i}^{{-1}}{% \genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0}}{m_{i}-1}}_{{\epsilon_{i}}}+\epsilon_{i}^{% {-4}}K_{i}^{{-2}}{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0}}{m_{i}-2}}_{{\epsilon_{i% }}}

Pour s=1,2s=1,2, [Ki;0mi-s]ϵi{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0}}{m_{i}-s}}_{{\epsilon_{i}}} agit sur xx par multiplication par

k=1mi-sσϵik0+1-k-σϵi-(k0+1-k)ϵik-ϵi-k=(-1)(s+1)Δiσsϵi-s(k0+1)k=1mi-s1-ϵi2(k-1)-2k01-ϵi2k\prod_{{k=1}}^{{m_{i}-s}}\frac{\sigma\epsilon_{i}^{{k_{0}+1-k}}-\sigma\epsilon% _{i}^{{-(k_{0}+1-k)}}}{\epsilon_{i}^{{k}}-\epsilon_{i}^{{-k}}}={(-1)}^{{(s+1)}% }\Delta_{i}\sigma^{s}\epsilon_{i}^{{-s(k_{0}+1)}}\prod_{{k=1}}^{{m_{i}-s}}% \frac{1-\epsilon_{i}^{{2(k-1)-2k_{0}}}}{1-\epsilon_{i}^{{2k}}} (3.2)

Comme on l’a déjà vu dans des démonstrations précédentes, ϵi2(k-1)-2k0\epsilon_{i}^{{2(k-1)-2k_{0}}} parcourt UmiU_{{m_{i}}} quand kk parcourt {0,1,,mi-1}\{0,1,...,m_{i}-1\} (et de même pour ϵi2k\epsilon_{i}^{{2k}}). S’il existe 1kmi-21\leq k\leq m_{i}-2 tel que ϵi2(k-1)-2k0=1\epsilon_{i}^{{2(k-1)-2k_{0}}}=1 alors λ1+=0\lambda_{1}^{+}=0. Sinon, on a soit ϵi2(0-1)-2k0=ϵi-2-2k0=1\epsilon_{i}^{{2(0-1)-2k_{0}}}=\epsilon_{i}^{{-2-2k_{0}}}=1, soit ϵi2((mi-1)-1)-2k0=ϵi-4-2k0=1\epsilon_{i}^{{2((m_{i}-1)-1)-2k_{0}}}=\epsilon_{i}^{{-4-2k_{0}}}=1. Dans le premier cas, ϵi2k0=ϵi-2\epsilon_{i}^{{2k_{0}}}=\epsilon_{i}^{{-2}}, le grand produit dans l’expression (3.2) vaut 1. On obtient alors

λ1+\displaystyle\lambda_{1}^{+} =Δi(σϵi-1-k0σ(ϵi-2(ϵi+ϵi-1)ϵi-k0)-σ2ϵi-2-2k0(ϵi-4σ2ϵi-2k0))\displaystyle=\Delta_{i}\left(\sigma\epsilon_{i}^{{-1-k_{0}}}\sigma(\epsilon_{% i}^{{-2}}(\epsilon_{i}+\epsilon_{i}^{{-1}})\epsilon_{i}^{{-k_{0}}})-\sigma^{2}% \epsilon_{i}^{{-2-2k_{0}}}(\epsilon_{i}^{{-4}}\sigma^{2}\epsilon_{i}^{{-2k_{0}% }})\right)
=Δi((ϵi-2+ϵi-4)ϵi-2k0-ϵi-6ϵi-4k0)\displaystyle=\Delta_{i}\left((\epsilon_{i}^{{-2}}+\epsilon_{i}^{{-4}})% \epsilon_{i}^{{-2k_{0}}}-\epsilon_{i}^{{-6}}\epsilon_{i}^{{-4k_{0}}}\right)
=Δi((ϵi-2+ϵi-4)ϵi2-ϵi-6ϵi4)\displaystyle=\Delta_{i}\left((\epsilon_{i}^{{-2}}+\epsilon_{i}^{{-4}})% \epsilon_{i}^{{2}}-\epsilon_{i}^{{-6}}\epsilon_{i}^{{4}}\right)
=Δi\displaystyle=\Delta_{i}

Dans le second cas, ϵi2k0=ϵi-4\epsilon_{i}^{{2k_{0}}}=\epsilon_{i}^{{-4}}. Le produit (3.2) est nul en s=1s=1 est nul et en s=2s=2 il se simplifie:

k=1mi-s1-ϵi2(k-1)-2k01-ϵi2k=k=1mi-s1-ϵi2(k+1)1-ϵi2k=1-ϵi2(1-s)1-ϵi2=-ϵi-2\prod_{{k=1}}^{{m_{i}-s}}\frac{1-\epsilon_{i}^{{2(k-1)-2k_{0}}}}{1-\epsilon_{i% }^{{2k}}}=\prod_{{k=1}}^{{m_{i}-s}}\frac{1-\epsilon_{i}^{{2(k+1)}}}{1-\epsilon% _{i}^{{2k}}}=\frac{1-\epsilon_{i}^{{2(1-s)}}}{1-\epsilon_{i}^{2}}=-\epsilon_{i% }^{{-2}}

et on trouve à nouveau

λ1+\displaystyle\lambda_{1}^{+} =Δi(-σ2ϵi-2ϵi-2k0(-ϵi-2)(ϵi-4σ2ϵi-2k0))\displaystyle=\Delta_{i}\left(-\sigma^{2}\epsilon_{i}^{{-2}}\epsilon_{i}^{{-2k% _{0}}}(-\epsilon_{i}^{{-2}})(\epsilon_{i}^{{-4}}\sigma^{2}\epsilon_{i}^{{-2k_{% 0}}})\right)
=Δi(ϵi-2ϵi4ϵi-2ϵi-4ϵi4)\displaystyle=\Delta_{i}\left(\epsilon_{i}^{{-2}}\epsilon_{i}^{{4}}\epsilon_{i% }^{{-2}}\epsilon_{i}^{{-4}}\epsilon_{i}^{{4}}\right)
=Δi\displaystyle=\Delta_{i}

Il n’existe qu’un nombre fini de triplet (σ,k0,k1){-1,+1}××(\sigma,k_{0},k_{1})\in\{-1,+1\}\times{\mathbb{N}}\times{\mathbb{C}} tel que Vσ,k0,k10V_{{\sigma,k_{0},k_{1}}}\neq 0. Supposons qu’il en existe un tel que k1k_{1}\notin{\mathbb{Z}}. On peut supposer de plus que (k1)\Re(k_{1}) est maximal si Δi=1\Delta_{i}=1 et minimal sinon. En général, (Xi+)(mi)Vσ,k0,k1Vσ,k0,k1+2Δik=0{(X_{i}^{+})}^{{(m_{i})}}V_{{\sigma,k_{0},k_{1}}}\subseteq V_{{\sigma,k_{0},k_% {1}+2\Delta_{i}k}}=0. Si mi=1m_{i}=1, alors (2.46) permet de prouver que pour tout 1k<mi1\leq k<m_{i}, (Xi+)(k)Vσ,k0,k1Vσ,k0,k1+2Δik=0{(X_{i}^{+})}^{{(k)}}V_{{\sigma,k_{0},k_{1}}}\subseteq V_{{\sigma,k_{0},k_{1}+% 2\Delta_{i}k}}=0. Supposons maintenant mi2m_{i}\geq 2. Les calculs précédents montrent que

Xi+Vσ,k0,k1Vσ,k0,k1 avec σϵik0=σϵik0+2k1={k1+Δi si 2k0-2,-4modbmik1 sinon \begin{gathered}X_{i}^{+}V_{{\sigma,k_{0},k_{1}}}\subseteq V_{{\sigma^{{\prime% }},k_{0}^{{\prime}},k_{1}^{{\prime}}}}\text{ avec }\\\sigma^{{\prime}}\epsilon% _{i}^{{k_{0}^{{\prime}}}}=\sigma\epsilon_{i}^{{k_{0}+2}}\\k_{1}^{{\prime}}=% \begin{cases}k_{1}+\Delta_{i}&\text{ si }2k_{0}\equiv-2,-4\mod bm_{i}\\ k_{1}&\text{ sinon }\end{cases}\end{gathered} (3.3)

b=2b=2 si ll est pair et b=1b=1 si ll est impair. On définit une suite d’espaces Vσr,k0r,k1rV_{{\sigma_{{r}},k_{{0r}},k_{{1r}}}} en partant de Vσr,k00,k10=Vσ,k0,k1V_{{\sigma_{{r}},k_{{00}},k_{{10}}}}=V_{{\sigma,k_{0},k_{1}}} et en se déplaçant à chaque étape dans l’espace Vσr,k0(r+1),k1(r+1)V_{{\sigma_{{r}},k_{{0(r+1)}},k_{{1(r+1)}}}} contenant (Xi+)Vσ,k0r,k1r{(X_{i}^{+})}V_{{\sigma,k_{{0r}},k_{{1r}}}} tel que défini par (3.3). Si mim_{i} est impair, alors lorsque rr parcourt {0,1,,mi-1}\{0,1,...,m_{i}-1\}, k0rk_{{0r}} parcourt toutes les classes modulo mim_{i}. k1rk_{{1r}} augmente de Δi\Delta_{i} exactement deux fois (en -1-1 et -2-2). Si mim_{i} est pair alors b=2b=2. Lorsque rr parcourt {0,1,,mi2-1}\{0,1,...,\frac{m_{i}}{2}-1\}, k0rk_{{0r}} parcourt toutes les classes modulo mim_{i} qui ont la même parité que k0rk_{{0r}}. k1rk_{{1r}} augmente Δi\Delta_{i} exactement une fois (en -1-1 si k0rk_{{0r}} est impair et en -2-2 si k0rk_{{0r}} est pair). On considère alors le plus grand rr tel que Vσr,k0r,k1r0V_{{\sigma_{r},k_{{0r}},k_{{1r}}}}\neq 0. On a de plus k1r=k1k_{{1r}}=k_{1}\notin{\mathbb{Z}}. En outre cela ne peut pas correspondre au dernier élément de la suite car celui-ci est nul (k1rk_{{1r}} a augmenté de Δi\Delta_{i} au moins une fois) et on peut donc écrire Xi+Vσr,k0r,k1rVσr+1,k0(r+1),k1(r+1)=0X_{i}^{+}V_{{\sigma_{r},k_{{0r}},k_{{1r}}}}\subseteq V_{{\sigma_{{r+1}},k_{{0(% r+1)}},k_{{1(r+1)}}}}=0. Quitte à remplacer (σ,k0,k1)(\sigma,k_{0},k_{1}) par (σr,k0r,k1r)(\sigma_{r},k_{{0r}},k_{{1r}}), on obtient à nouveau par (2.46) et (2.47) que (Xi+)(k){(X_{i}^{+})}^{{(k)}} annule Vσ,k0,k1V_{{\sigma,k_{0},k_{1}}} pour tout k1k\geq 1.

Finalement, (Xi-)(mi){(X_{i}^{-})}^{{(m_{i})}} agit de façon nilpotente sur Vσ,k0,k1V_{{\sigma,k_{0},k_{1}}} donc il existe r1r\geq 1 tel que ((Xi-)(mi))r{\left({(X_{i}^{-})}^{{(m_{i})}}\right)}^{r}, et a fortiori (Xi+)(rmi)(Xi-)(rmi){(X_{i}^{+})}^{{(rm_{i})}}{(X_{i}^{-})}^{{(rm_{i})}}, annule Vσ,k0,k1V_{{\sigma,k_{0},k_{1}}}. En appliquant (2.25), on obtient que [Ki;0mir]ϵi{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0}}{m_{i}r}}_{{\epsilon_{i}}} annule Vσ,k0,k1V_{{\sigma,k_{0},k_{1}}}. Mais alors (2.43) montre que l’action de [Ki;0mi]ϵi{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}} sur Vσ,k0,k1V_{{\sigma,k_{0},k_{1}}} est annulée par le polynôme s=0p-1(X-σmi(ϵimi)k0+1s)\prod_{{s=0}}^{{p-1}}\left(X-\sigma^{{m_{i}}}{(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{k_{0% }+1}}s\right). Comme [Ki;0mi]ϵi-k1{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}-k_{1} agit de façon nilpotente sur Vσ,k0,k1V_{{\sigma,k_{0},k_{1}}}, on a nécessairement k1{σmi(ϵimi)k0+1s}s{0,1...p-1}k_{1}\in{\{\sigma^{{m_{i}}}{(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{k_{0}+1}}s\}}_{{s\in\{% 0,1...p-1\}}}, ce qui contredit k1k_{1}\notin{\mathbb{Z}}. ∎

Définition 3.2.3.

Un poids de Uϵres{U_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}} est une suite de triplets ρ=(σi,ki0,ki1)1in\rho={(\sigma_{i},k_{{i0}},k_{{i1}})}_{{1\leq i\leq n}} de longueur nn tel que pour tout 1in1\leq i\leq n, (σi,ki0,ki1){-1,+1}×/mi×{(\sigma_{i},k_{{i0}},k_{{i1}})}\in\{-1,+1\}\times{{\mathbb{Z}}/m_{i}{\mathbb{% Z}}}\times{\mathbb{Z}}.

Soit VV est une représentation de dimension finie de Uϵres{U_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}}. On note

T(*)n,VρT=1inKer(Ki-σiϵiki01)Ker([Ki;0mi]ϵi-ki11)Ti\forall T\in{({\mathbb{N}}^{*})}^{n},V_{\rho}^{T}=\bigcap_{{1\leq i\leq n}}{% \operatorname{Ker}{\mathop{\left(K_{i}-\sigma_{i}\epsilon_{i}^{{k_{{i0}}}}1% \right)}}\cap\operatorname{Ker}{\mathop{{\left({\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}% };{0}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}-k_{{i1}}1\right)}^{{T_{i}}}}}} (3.4)

et

Vρ=T(*)nVρTV_{\rho}=\bigcup_{{T\in{({\mathbb{N}}^{*})}^{n}}}V_{\rho}^{T} (3.5)

Ce dernier est en réalité un VρTV_{\rho}^{T} pour TT assez grand. On appelle vecteur de poids ρ\rho les éléments de VρV_{\rho}. Alors pour tout T(*)nT\in{({\mathbb{N}}^{*})}^{n}, les VρTV_{\rho}^{T} sont en somme directe. De plus on a alors la décomposition V=ρVρV=\bigoplus_{\rho}V_{{\rho}}.

Notation 3.2.4.

Étant donné ρ=(σi,ki0,ki1)1in\rho={(\sigma_{i},k_{{i0}},k_{{i1}})}_{{1\leq i\leq n}} un poids, on conserve la notation

Δi=(-1)(mi+1)σimi(ϵimi)ki0+1\Delta_{i}={(-1)}^{{(m_{i}+1)}}\sigma_{i}^{{m_{i}}}{(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^% {{k_{{i0}}+1}} (3.6)

Soient maintenant vVρv\in V_{\rho} et cc\in{\mathbb{Z}}. Notons

Yic=[Ki;cmi]ϵi-(ϵimi)c[Ki;0mi]ϵiY_{{ic}}={\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{c}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}-{(% \epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{c}{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0}}{m_{i}}}_{{% \epsilon_{i}}} (3.7)

D’après (2.19) et (2.20), YicY_{{ic}} est dans la 𝒜\mathcal{A} sous-algèbre engendrée par Ki,Ki-1K_{i},K_{i}^{{-1}}. En particulier, vv est un vecteur propre de YicY_{{ic}} pour une certaine valeur propre, que l’on notera λρic(σiϵik0,ϵi)\lambda_{{\rho ic}}\in{\mathbb{Q}}(\sigma_{i}\epsilon_{i}^{{k_{0}}},\epsilon_{% i}).

Le calcul direct de λρic\lambda_{{\rho ic}} à l’aide des formules (2.19) et (2.20) n’est pas forcément évident. Nous utiliserons à la place une approche inductive. On obtient alors le lemme suivant:

Lemme 3.2.5.

Soit ρ=(σi,ki0,ki1)1in\rho={(\sigma_{i},k_{{i0}},k_{{i1}})}_{{1\leq i\leq n}} un poids et vVρv\in V_{\rho}. Alors pour tout cc\in{\mathbb{N}},

λρ,i,±c=(ϵimi)cki0±cmiΔi\lambda_{{\rho,i,\pm c}}={(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{c}}\left\lfloor\frac{k_{% {i0}}\pm c}{m_{i}}\right\rfloor\Delta_{i} (3.8)
Démonstration.

On commence par évaluer (2.19) et (2.20) en c=pmi,r=mic=pm_{i},r=m_{i}. Le lemme (2.40) montre que seuls les termes en s=0,mis=0,m_{i} sont non nuls et dans les deux cas, on trouve la formule:

[Ki;±pmimi]ϵiv=(ϵimi)pmi([Ki;0mi]ϵi±pΔi)v{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{\pm pm_{i}}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}v={(% \epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{pm_{i}}}\left({\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0}}% {m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}\pm p\Delta_{i}\right)v (3.9)

Si mi=1m_{i}=1 on a terminé. Supposons donc mi2m_{i}\geq 2 et considérons un cc\in{\mathbb{Z}}. On évalue (2.18) en ϵ\epsilon et r=mir=m_{i}:

[Ki;c+1mi]ϵi=ϵimi([Ki;cmi]ϵi+ϵic+1Ki[Ki;cmi-1]ϵi){\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{c+1}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}=\epsilon_{i}^% {{m_{i}}}\left({\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{c}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}+% \epsilon_{i}^{{c+1}}K_{i}{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{c}}{m_{i}-1}}_{{% \epsilon_{i}}}\right) (3.10)

On applique alors chaque membre à vv:

[Ki;c+1mi]ϵiv\displaystyle{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{c+1}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}v =ϵimi([Ki;cmi]ϵi+ϵic+1Ki[Ki;cmi-1]ϵi)v\displaystyle=\epsilon_{i}^{{m_{i}}}\left({\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{c}% }{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}+\epsilon_{i}^{{c+1}}K_{i}{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{% K_{i}};{c}}{m_{i}-1}}_{{\epsilon_{i}}}\right)v
=ϵimi([Ki;cmi]ϵi+ϵic+1σiϵiki0k=1mi-1σiϵiki0ϵic+1-k-σiϵi-ki0ϵi-(c+1-k)ϵik-ϵi-k)v\displaystyle=\epsilon_{i}^{{m_{i}}}\left({\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{c}% }{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}+\epsilon_{i}^{{c+1}}\sigma_{i}\epsilon_{i}^{{k_{{i0% }}}}\prod_{{k=1}}^{{m_{i}-1}}\frac{\sigma_{i}\epsilon_{i}^{{k_{{i0}}}}\epsilon% _{i}^{{c+1-k}}-\sigma_{i}\epsilon_{i}^{{-k_{{i0}}}}\epsilon_{i}^{{-(c+1-k)}}}{% \epsilon_{i}^{k}-\epsilon_{i}^{{-k}}}\right)v
=ϵimi([Ki;cmi]ϵi+ϵic+1σiϵiki0k=1mi-1σiϵiki0ϵic+1-k(1-ϵi-2ki0ϵi-2(c+1-k))-ϵi-k(1-ϵi2k))v\displaystyle=\epsilon_{i}^{{m_{i}}}\left({\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{c}% }{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}+\epsilon_{i}^{{c+1}}\sigma_{i}\epsilon_{i}^{{k_{{i0% }}}}\prod_{{k=1}}^{{m_{i}-1}}\frac{\sigma_{i}\epsilon_{i}^{{k_{{i0}}}}\epsilon% _{i}^{{c+1-k}}\left(1-\epsilon_{i}^{{-2k_{{i0}}}}\epsilon_{i}^{{-2(c+1-k)}}% \right)}{-\epsilon_{i}^{{-k}}(1-\epsilon_{i}^{{2k}})}\right)v
=ϵimi([Ki;cmi]ϵi+(-1)mi+1(ϵimi)c+1σimi(ϵimi)ki0k=1mi-11-ϵi-2ki0ϵi-2(c+1-k)1-ϵi2k)v\displaystyle=\epsilon_{i}^{{m_{i}}}\left({\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{c}% }{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}+{(-1)}^{{m_{i}+1}}(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})^{{c+1}}% \sigma_{i}^{{m_{i}}}{(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{k_{{i0}}}}\prod_{{k=1}}^{{m_{% i}-1}}\frac{1-\epsilon_{i}^{{-2k_{{i0}}}}\epsilon_{i}^{{-2(c+1-k)}}}{1-% \epsilon_{i}^{{2k}}}\right)v
=ϵimi([Ki;cmi]ϵi+Δi(ϵimi)ck=1mi-11-ϵi-2(ki0+c+1-k)1-ϵi2k)v\displaystyle=\epsilon_{i}^{{m_{i}}}\left({\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{c}% }{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}+\Delta_{i}{(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{c}\prod_{{k=1% }}^{{m_{i}-1}}\frac{1-\epsilon_{i}^{{-2(k_{{i0}}+c+1-k)}}}{1-\epsilon_{i}^{{2k% }}}\right)v

Intéressons nous au grand produit. Une nouvelle fois, lorsque kk parcourt {0,mi-1}\{0,...m_{i}-1\}, les puissances en ϵi\epsilon_{i} parcourt UmiU_{{m_{i}}}. Si ϵi-2(ki0+c+1-k)=1\epsilon_{i}^{{-2(k_{{i0}}+c+1-k)}}=1 pour un certain k{1,,mi-1}k\in\{1,...,m_{i}-1\} alors le produit est nul. Sinon, ϵi-2(ki0+c+1)=1\epsilon_{i}^{{-2(k_{{i0}}+c+1)}}=1 et le grand produit vaut alors 1. Notons que ce dernier cas arrive si et seulement si ki0-(c+1)modmik_{{i0}}\equiv-(c+1)\mod m_{i}, d’où

[Ki;c+1mi]ϵiv=ϵimi([Ki;cmi]ϵi+Δi(ϵimi)cδki,0,-(c+1))v{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{c+1}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}v=\epsilon_{i}% ^{{m_{i}}}\left({\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{c}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}% +\Delta_{i}{(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{c}\delta_{{k_{{i,0}},-(c+1)}}\right)v (3.11)

Considérons enfin 0r<mi0\leq r<m_{i}. A partir de relation de récurrence (3.11) et en séparant les cas ±\pm, on trouve aisément

[Ki;±(pmi+r)mi]ϵiv=((ϵimi)r[Ki;±pmimi]ϵi±(ϵimi)pmi+rχi,±r(ki0)Δi)v{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{\pm(pm_{i}+r)}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}v=% \left({(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{r}{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{\pm pm_{% i}}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}\pm{(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{pm_{i}+r}}\chi_{{% {i,\pm r}}}(k_{{i0}})\Delta_{i}\right)v

χi,+r(k0)=1\chi_{{i,+r}}(k_{0})=1 si mi-rki0mi-1m_{i}-r\leq k_{{i0}}\leq m_{i}-1, χi,-r(k0)=1\chi_{{i,-r}}(k_{0})=1 si 0ki0r-10\leq k_{{i0}}\leq r-1 et χi,±r(k0)=0\chi_{{i,\pm r}}(k_{0})=0 sinon. En injectant l’expression (3.9) on trouve

λρ,i,±(pmi+r)=±(ϵimi)pmi+r(p+χi,±r(ki0))Δi\lambda_{{\rho,i,\pm(pm_{i}+r)}}=\pm{(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{pm_{i}+r}}% \left(p+\chi_{{i,\pm r}}(k_{{i0}})\right)\Delta_{i} (3.12)

Finalement, si cc\in{\mathbb{N}} et si on pose c=pmi+rc=pm_{i}+r sa division euclidienne par mim_{i}, on a

±(p+χi,±r(ki0))=ki0±cmi\pm\left(p+\chi_{{i,\pm r}}(k_{{i0}})\right)=\left\lfloor\frac{k_{{i0}}\pm c}{% m_{i}}\right\rfloor

d’où on déduit la formule générale. ∎

Proposition 3.2.6.

Soient T(*)nT\in{({\mathbb{N}}^{*})}^{n}, ρ=(σi,ki0,ki1)1in\rho={(\sigma_{i},k_{{i0}},k_{{i1}})}_{{1\leq i\leq n}} un poids et vVρTv\in V_{\rho}^{T}. Considérons r{1,mi}r\in\{1,m_{i}\} et j{1,2,,n}j\in\{1,2,...,n\} et supposons que (Xj±)(r)v0{(X_{j}^{\pm})}^{{(r)}}v\neq 0. Alors il existe un (unique) poids ρr=(σir,ki0r,ki1r)1in\rho_{r}={(\sigma_{{ir}},k_{{i0r}},k_{{i1r}})}_{{1\leq i\leq n}} tel que (Xj±)(r)vVρrT{(X_{j}^{\pm})}^{{(r)}}v\in V_{{\rho_{r}}}^{T}. En particulier, ρVρT\bigoplus_{\rho}V_{{\rho}}^{T} est un sous-module de VV et si VV est irréductible V=ρVρ1=ρVρV=\bigoplus_{\rho}V_{{\rho}}^{1}=\bigoplus_{\rho}V_{{\rho}}. De plus pour tout 1in1\leq i\leq n,

σir=(ϵimi)(ki0±raij)/miσiki0r=ki0±raij-ki0±raijmimiki1r=(ϵimi)raij(ki1+ki0±raijmiΔi)\begin{gathered}\sigma_{{ir}}={(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{{\left\lfloor\left(% k_{{i0}}\pm ra_{{ij}}\right)/m_{i}\right\rfloor}}}\sigma_{i}\\k_{{i0r}}=k_{{i0% }}\pm ra_{{ij}}-{\left\lfloor\frac{k_{{i0}}\pm ra_{{ij}}}{m_{i}}\right\rfloor}% m_{i}\\k_{{i1r}}={(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{ra_{{ij}}}}\left(k_{{i1}}+\left% \lfloor\frac{k_{{i0}}\pm ra_{{ij}}}{m_{i}}\right\rfloor\Delta_{i}\right)\end{gathered} (3.13)
Démonstration.

On a Ki((Xj±)(r)v)=ϵi±raij(Xj±)(r)Kiv=σiϵiki0±aij(Xj±v)K_{i}({(X_{j}^{\pm})}^{{(r)}}v)=\epsilon_{i}^{{\pm ra_{{ij}}}}{(X_{j}^{\pm})}^% {{(r)}}K_{i}v=\sigma_{i}\epsilon_{i}^{{k_{{i0}}\pm a_{{ij}}}}(X_{j}^{\pm}v). Notons a=(ki0±raij)/mia={\left\lfloor\left(k_{{i0}}\pm ra_{{ij}}\right)/m_{i}\right\rfloor} et b=ki0±aij-amib=k_{{i0}}\pm a_{{ij}}-am_{i} le quotient et reste de la division euclidienne de ki0±aijk_{{i0}}\pm a_{{ij}} par mim_{i}. Alors on obtient Ki(Xj±v)=σi(ϵimi)aϵib(Xj±v)K_{i}(X_{j}^{\pm}v)=\sigma_{i}{(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{a}}\epsilon_{i}^{b}% (X_{j}^{\pm}v). De plus,

([Ki;0mi]ϵi-((ϵimi)raijki1+λρ,i,±raij))((Xj±)(r)v)=(Xj±)(r)([Ki;±raijmi]ϵi-((ϵimi)raijki1+λρ,i,±raij))v=(Xj±)(r)(((ϵimi)raij[Ki;0mi]ϵi+Yρ,i,±raij)-((ϵimi)raijki1+λρ,i,±raij))v=(Xj±)(r)(ϵimi)raij([Ki;0mi]ϵi-ki1)v+(Xj±)(r)(Yρ,i,±raij-λρ,i,±raij)v=(Xj±)(r)(ϵimi)raij([Ki;0mi]ϵi-ki1)v\begin{gathered}\left({\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0}}{m_{i}}}_{{\epsilon% _{i}}}-\left({(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{ra_{{ij}}}}k_{{i1}}+\lambda_{{\rho,i% ,\pm ra_{{ij}}}}\right)\right)({(X_{j}^{\pm})}^{{(r)}}v)={(X_{j}^{\pm})}^{{(r)% }}\left({\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{\pm ra_{{ij}}}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{% i}}}-\left({(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{ra_{{ij}}}}k_{{i1}}+\lambda_{{\rho,i,% \pm ra_{{ij}}}}\right)\right)v\\={(X_{j}^{\pm})}^{{(r)}}\left(\left({(\epsilon% _{i}^{{m_{i}}})}^{{ra_{{ij}}}}{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0}}{m_{i}}}_{{% \epsilon_{i}}}+Y_{{\rho,i,\pm ra_{{ij}}}}\right)-\left({(\epsilon_{i}^{{m_{i}}% })}^{{ra_{{ij}}}}k_{{i1}}+\lambda_{{\rho,i,\pm ra_{{ij}}}}\right)\right)v\\={(% X_{j}^{\pm})}^{{(r)}}{(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{ra_{{ij}}}}\left({\genfrac{[% }{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}-k_{{i1}}\right)v+{(X_{j}^{% \pm})}^{{(r)}}\left(Y_{{\rho,i,\pm ra_{{ij}}}}-\lambda_{{\rho,i,\pm ra_{{ij}}}% }\right)v\\={(X_{j}^{\pm})}^{{(r)}}{(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{ra_{{ij}}}}% \left({\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}-k_{{i1}}% \right)v\end{gathered}

On a alors (ϵimi)raij([Ki;0mi]ϵi-ki1)vVρT{(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{ra_{{ij}}}}\left({\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}}% ;{0}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}-k_{{i1}}\right)v\in V_{{\rho}}^{T} et on peut répéter le calcul ci-dessus. On trouve,

([Ki;0mi]ϵi-((ϵimi)raijki1+λρ,i,±raij))Ti((Xj±)(r)v)=(Xj±)(r)(ϵimi)Tiraij([Ki;0mi]ϵi-ki1)Tiv=0{\left({\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_{i}};{0}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}-\left({(% \epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{ra_{{ij}}}}k_{{i1}}+\lambda_{{\rho,i,\pm ra_{{ij}}}% }\right)\right)}^{{T_{i}}}({(X_{j}^{\pm})}^{{(r)}}v)={(X_{j}^{\pm})}^{{(r)}}{(% \epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{T_{i}ra_{{ij}}}}{\left({\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{{K_% {i}};{0}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}-k_{{i1}}\right)}^{{T_{i}}}v=0

On utilise enfin le lemme 3.2.5:

ki1r\displaystyle k_{{i1r}} =(ϵimi)raijki1+λρ,i,±raij\displaystyle={(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{ra_{{ij}}}}k_{{i1}}+\lambda_{{\rho,% i,\pm ra_{{ij}}}}
=(ϵimi)raijki1+(ϵimi)raijki0±raijmiΔi\displaystyle={(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{ra_{{ij}}}}k_{{i1}}+{(\epsilon_{i}^% {{m_{i}}})}^{{ra_{{ij}}}}\left\lfloor\frac{k_{{i0}}\pm ra_{{ij}}}{m_{i}}\right% \rfloor\Delta_{i}
=(ϵimi)raij(ki1+ki0±raijmiΔi)\displaystyle={(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{ra_{{ij}}}}\left(k_{{i1}}+\left% \lfloor\frac{k_{{i0}}\pm ra_{{ij}}}{m_{i}}\right\rfloor\Delta_{i}\right)

La proposition 3.2.6 montre en particulier que si i,ϵimi=1\forall i,\epsilon_{i}^{{m_{i}}}=1 alors σ\sigma est invariant par l’action de Uϵres{U_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}}. En réalité, l’annexe A.1 montre que i,ϵimi=1\forall i,\epsilon_{i}^{{m_{i}}}=1 est équivalent à ll impair (en effet, on peut toujours trouver ii tel que di2d_{i}\neq 2 donc si ll est pair, on a ϵimi=-1\epsilon_{i}^{{m_{i}}}=-1). Cela suggère la réduction suivante:

Remarque 3.2.7.

Supposons ll impair et en particulier que les mim_{i} sont impairs. Pour tout s=(s1,s2,,sn){1,-1}ns=(s_{1},s_{2},...,s_{n})\in{\{1,-1\}}^{n}, considérons le sous-espace Zs={vV|i,Kimiv=siv}Z_{s}=\{v\in V|\forall i,K_{i}^{{m_{i}}}v=s_{i}v\}. Si vZsv\in Z_{s}, on a Kimi(Xj±v)=(ϵimi)±aijsimi(Xj±v)=si(Xj±v)K_{i}^{{m_{i}}}(X_{j}^{\pm}v)={(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{\pm a_{{ij}}}}s_{i}% ^{{m_{i}}}(X_{j}^{\pm}v)=s_{i}(X_{j}^{\pm}v). Donc ZsZ_{s} est un sous module de VV. D’après le lemme 2.3.7, on a une décomposition en somme directe de sous-modules V=sZsV=\bigoplus_{{s}}Z_{{s}}. Appelons représentation de type ss celles pour lesquelles V=ZsV=Z_{s}. Notons que pour une telle représentation, alors pour tous poids ρ\rho et 0vVρ0\neq v\in V_{\rho}, i,Kimiv=σimi(ϵimi)k0v=σiv=siv\forall i,K_{i}^{{m_{i}}}v=\sigma_{i}^{{m_{i}}}{(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{k_% {0}}}v=\sigma_{i}v=s_{i}v d’où σ=s\sigma=s. On a un automorphisme d’algèbre de UqU_{q} donné par Xi+siXi+X_{i}^{+}\mapsto s_{i}X_{i}^{+}, Xi-Xi-X_{i}^{-}\mapsto X_{i}^{-} et KisiKiK_{i}\mapsto s_{i}K_{i} pour tout ii qui induit un automorphisme d’algèbre ϕs\phi_{s} de Uϵres{U_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}}. Si VV est de type ss^{{\prime}}, alors pour tout vVv\in V, ϕs(Kimi)v=simiKimiv=sisiv\phi_{s}(K_{i}^{{m_{i}}})v=s_{i}^{{m_{i}}}K_{i}^{{m_{i}}}v=s_{i}s_{i}^{{\prime% }}v. Par conséquent ϕs\phi_{s} échange les représentations de type ss avec celles de type 1=(1,1,,1)1=(1,1,...,1). Cela permet de réduire l’étude des représentations de Uϵres{U_{\epsilon}^{{\mathrm{res}}}} à celles de type 1.

La proposition 3.2.6 laisse penser que l’on peut regrouper les paramètres ki0,ki1k_{{i0}},k_{{i1}} en un seul paramètre ki=ki0+miki1k_{i}=k_{{i0}}+m_{i}k_{{i1}}. Le lemme 3.2.8 fournit les expressions de ki0,ϵik0k_{{i0}},\epsilon_{i}^{{k_{0}}} et ki1k_{{i1}} en fonction de kk, qui seront utilisées dans proposition 3.3.1 de la section suivante. Dans la littérature, il est d’usage d’exprimer ces paramètres en fonction de [kimi]ϵi{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{k_{i}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}} mais nous utiliserons aussi kmi\left\lfloor\frac{k}{m_{i}}\right\rfloor qui est parfois plus pratique à manipuler.

Lemme 3.2.8.

Soit kk\in{\mathbb{Z}} et k=mik1+k0k=m_{i}k_{1}+k_{0} sa division euclidienne par mim_{i}. Alors

k0=k-kmimik_{0}=k-\left\lfloor\frac{k}{m_{i}}\right\rfloor m_{i} (3.14)
ϵik0=(ϵimi)kmiϵik=(ϵimi)[kmi]ϵiϵik\epsilon_{i}^{{k_{0}}}={(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{\left\lfloor\frac{k}{m_{i}% }\right\rfloor}}\epsilon_{i}^{k}={(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{{\genfrac{[}{]}{% 0.0pt}{}{k}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}}}\epsilon_{i}^{k} (3.15)
k1=kmi=(-1)mi+1(ϵimi)k+1[kmi]ϵik_{1}=\left\lfloor\frac{k}{m_{i}}\right\rfloor={(-1)}^{{m_{i}+1}}{(\epsilon_{i% }^{{m_{i}}})}^{{k+1}}{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{k}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}} (3.16)
Démonstration.

Tout d’abord, k0=k-kmimik_{0}=k-\left\lfloor\frac{k}{m_{i}}\right\rfloor m_{i} et k1=kmik_{1}=\left\lfloor\frac{k}{m_{i}}\right\rfloor sont évidents. Ensuite, ϵik=(ϵimi)k1ϵik0\epsilon_{i}^{k}={(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{k_{1}}}\epsilon_{i}^{{k_{0}}} donc (3.15) découle de (3.16). Maintenant si k1=0k_{1}=0, alors [kmi]ϵi=[k0mi]ϵi=0=k1{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{k}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}={\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{% k_{0}}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}=0=k_{1}. Si k1>0k_{1}>0, on peut appliquer (2.39) et on obtient alors [kmi]ϵi=(-1)(mi+1)(k1+1)(ϵimi)k1+k0+1k1{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{k}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}={(-1)}^{{(m_{i}+1)(k_{1}+% 1)}}{(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{k_{1}+k_{0}+1}}k_{1}. Si k1<0k_{1}<0, (1.9) s’écrit [kmi]ϵi=(-1)mi[-k1mi+(mi-1-k0)mi]ϵi{\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{k}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}}={(-1)}^{{m_{i}}}{\genfrac% {[}{]}{0.0pt}{}{-k_{1}m_{i}+(m_{i}-1-k_{0})}{m_{i}}}_{{\epsilon_{i}}} ce qui permet à nouveau d’appliquer (2.39). Après simplification, on trouve la même formule que dans le cas k1>0k_{1}>0.

Considérons plus attendivement (-1)(mi+1)(k1+1)(ϵimi)k1+k0+1{(-1)}^{{(m_{i}+1)(k_{1}+1)}}{(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{k_{1}+k_{0}+1}}. Si ϵimi=1\epsilon_{i}^{{m_{i}}}=1, il vaut (-1)(mi+1)(k1+1){(-1)}^{{(m_{i}+1)(k_{1}+1)}}. Si ϵimi=-1\epsilon_{i}^{{m_{i}}}=-1 on trouve (-1)(mi+1)(k1+1)+k1+k0+1=(-1)k+mi{(-1)}^{{(m_{i}+1)(k_{1}+1)+k_{1}+k_{0}+1}}={(-1)}^{{k+m_{i}}}. On peut donc l’exprimer de façon générale

(-ϵimi)(mi+1)(k1+1)(ϵimi)k+mi\displaystyle{(-\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{(m_{i}+1)(k_{1}+1)}}{(\epsilon_{i}^% {{m_{i}}})}^{{k+m_{i}}} =(-1)(mi+1)(k1+1)(ϵimi)mik1+mi+k1+1+k+mi\displaystyle={(-1)}^{{(m_{i}+1)(k_{1}+1)}}{(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{m_{i}k% _{1}+m_{i}+k_{1}+1+k+m_{i}}}
=(-1)(mi+1)(k1+1+k1)(ϵimi)k1+mi+k1+1+k+mi\displaystyle={(-1)}^{{(m_{i}+1)(k_{1}+1+k_{1})}}{(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{% k_{1}+m_{i}+k_{1}+1+k+m_{i}}}
=(-1)mi+1(ϵimi)k+1\displaystyle={(-1)}^{{m_{i}+1}}{(\epsilon_{i}^{{m_{i}}})}^{{k+1}}

Ceci achève la démonstration. ∎