Démonstration.
La nilpotence des est impliquée par celle des
si (en effet dans ce cas
). Sinon, on sait déjà que les
sont nilpotents par la proposition 2.3.7.
On travaille dans la sous-algèbre de
engendrée par
. commute avec
et donc on peut écrire une
décomposition en sous-espaces caractéristiques
, où sur chaque
, agit par multiplication par
et agit de façon nilpotente. Par
(2.38), on a plus précisément et
et a priori . On considère enfin un vecteur
.
Pour tout , on a
.
Pour on trouve
.
Pour on trouve que
.
On garde toujours . Les formules
(2.19) et (2.20) du lemme 2.2.6 montrent que
où
est le terme d’indice dans les formules
du lemme et la somme des termes d’indices . De plus
appartient à la sous-algèbre engendrée par . Par conséquent
est un vecteur propre de pour une certaine valeur propre
dont (2.19) et (2.20) montrent qu’elle ne ne dépend que de
, , et . Considérons alors l’action
de sur
:
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Maintenant,
et on peut donc répéter ce calcul ce qui donne pour tout ,
qui
est nul pour assez grand. Ceci montre que appartient
au sous-espace caractéristique de correspondant
à la valeur propre .
Décrivons maintenant de façon plus explicite. Les formules
(2.19) et (2.20) donnent:
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Dans le cas particulier , (2.40)
montre alors que seul le terme en est non nul et se simplifie pour
donner
avec
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(3.1) |
On a et le signe ne dépend pas de .
Comme , les valeurs propres de
sont dans une partie bornée de . L’inclusion
pour tout
montre alors que agit de façon nilpotente sur .
Considérons maintenant le cas particulier et .
On remarque que
vaut
si , vaut 1 si et vaut 0 si
. D’où
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Pour , agit sur par multiplication
par
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(3.2) |
Comme on l’a déjà vu dans des démonstrations précédentes,
parcourt quand parcourt
(et de même pour ).
S’il existe tel que
alors . Sinon, on a
soit
,
soit
. Dans le premier cas,
,
le grand produit dans l’expression (3.2) vaut 1. On obtient alors
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Dans le second cas, . Le produit
(3.2) est nul en est nul et en il se simplifie:
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et on trouve à nouveau
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Il n’existe qu’un nombre fini de triplet tel
que . Supposons qu’il en existe un tel que
.
On peut supposer de plus que est maximal si
et minimal sinon. En général,
. Si , alors
(2.46) permet de prouver que pour tout
, .
Supposons maintenant . Les calculs précédents montrent que
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(3.3) |
Où si est pair et si est impair.
On définit une suite d’espaces en partant de
et en se déplaçant à chaque
étape dans l’espace contenant
tel que défini par (3.3).
Si est impair, alors lorsque parcourt ,
parcourt toutes les classes modulo .
augmente de exactement deux fois (en et ). Si
est pair alors . Lorsque parcourt
, parcourt toutes les classes modulo
qui ont la même parité que . augmente
exactement une fois (en si est impair et en si est
pair).
On considère alors le plus grand tel que .
On a de plus . En outre cela ne peut pas correspondre
au dernier élément de la suite car celui-ci est nul
( a augmenté de au moins une fois) et on peut donc écrire
.
Quitte à remplacer
par , on obtient
à nouveau par (2.46) et (2.47) que
annule pour tout .
Finalement, agit de façon nilpotente sur
donc
il existe tel que , et
a fortiori
, annule .
En appliquant
(2.25), on obtient
que annule . Mais alors
(2.43) montre que l’action de sur
est annulée par le polynôme
. Comme
agit de façon nilpotente sur
, on a nécessairement
,
ce qui contredit .
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Démonstration.
On commence par évaluer
(2.19) et (2.20) en . Le lemme
(2.40) montre que seuls les termes en
sont non nuls et dans les deux cas, on trouve la formule:
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(3.9) |
Si on a terminé. Supposons donc et considérons
un . On évalue (2.18) en et :
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(3.10) |
On applique alors chaque membre à :
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Intéressons nous au grand produit. Une nouvelle fois, lorsque parcourt
, les puissances en parcourt .
Si pour un certain
alors le produit est nul. Sinon,
et le grand produit vaut alors 1.
Notons que ce dernier cas arrive si et seulement si
, d’où
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(3.11) |
Considérons enfin . A partir de relation de récurrence
(3.11) et en séparant les cas , on trouve aisément
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où si ,
si et
sinon. En injectant l’expression (3.9) on trouve
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(3.12) |
Finalement, si et si on pose sa division
euclidienne par , on a
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d’où on déduit la formule générale.
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