3.1 Représentations de la forme rationnelle
Dans cette section, nous décrivons brièvement les représentations irréductibles de la forme rationnelle en suivant le début du chapitre 10 de [CP1994]. Dans le cas classique, de tels modules sont paramétrés par leur plus haut poids et nous avons un résultat similaire pour la forme quantifiée.
Un poids est un -tuple . Si sont deux poids on définit un ordre
On procède alors comme dans le cas classique. Un espace de poids d’un -module est un sous-module non nul de de la forme
pour un certain poids . Un -module de plus haut poids est un module engendré par un vecteur primitif i.e. satisfaisant et pour tout . Alors en utilisant la proposition 2.1.9, on obtient la décomposition en somme directe d’espaces de poids:
avec . Alors est uniquement déterminé et est appelé le module de plus haut poids . Les éléments de sont appelés vecteurs de plus hauts poids.
On définit le module de Verma comme le quotient de par l’idéal à gauche engendré par les et les . C’est un module de plus haut poids où un vecteur de plus haut poids est l’image de 1 dans le quotient. Tout module de plus haut poids est isomorphe à un quotient de et possède un unique quotient irréductible . On a alors les propositions suivantes:
Proposition 3.1.1.
Pour tout poids , il existe un unique -module irréductible de plus haut poids . Il s’agit de .
Proposition 3.1.2.
Un -module irréductible de plus haut poids est intégrable si et seulement si pour un certain et un certain .
Proposition 3.1.3.
Tout -module irréductible de dimension fini est intégrable et de plus haut poids i.e. isomorphe à un pour un certain et un certain .
Proposition 3.1.4.
Tout -module de dimension finie est complètement réductible.
Cela permet d’obtenir une classification complète des -modules de dimension finie.
Remarque 3.1.5.
Si , alors par définition cela signifie que pour un certain . Donc les poids de sont de la forme avec .
Exemple 3.1.6.
On suppose et . Il existe exactement deux -modules de dimension finie . Ceux sont les modules pour de base dont l’action sur les générateurs de est donnée par
où on pose .
Notons finalement que l’on peut définir le caractère d’un -module de dimension fini en s’inspirant de ce qui existe pour le cas classique des -modules (cf l’annexe A.2). On a alors:
Proposition 3.1.7.
Le caractère de est donné par la formule des caractères de Weyl.