Frédéric Wang Subscribe   About Me   Blog Archive   Mathematics   Computer Science

3 Représentations de dimension finie

3.1 Représentations de la forme rationnelle

Dans cette section, nous décrivons brièvement les représentations irréductibles de la forme rationnelle en suivant le début du chapitre 10 de [CP1994]. Dans le cas classique, de tels modules sont paramétrés par leur plus haut poids et nous avons un résultat similaire pour la forme quantifiée.

Un poids est un nn-tuple ρ=(ρ1,,ρn)((q))×\rho=(\rho_{1},...,\rho_{n})\in({\mathbb{Q}}(q))^{\times}. Si ρ,ρ\rho,\rho^{{\prime}} sont deux poids on définit un ordre

ρρβQ+i,ρi-1ρi=qiβ(αi)\rho^{{\prime}}\leq\rho\Leftrightarrow\exists\beta\in Q^{+}\forall i,{\rho_{i}% ^{{\prime}}}^{{-1}}\rho_{i}=q_{i}^{{\beta(\alpha_{i}^{\vee})}}

On procède alors comme dans le cas classique. Un espace de poids d’un UqU_{q}-module est un sous-module non nul de VV de la forme

Vρ={vV|i,Kiv=ρiv}V_{\rho}=\{v\in V|\forall i,K_{i}\cdot v=\rho_{i}v\}

pour un certain poids ρ\rho. Un UqU_{q}-module de plus haut poids ρ\rho est un module engendré par un vecteur vv primitif i.e. satisfaisant vVρv\in V_{{\rho}} et Xi+v=0X_{i}^{+}v=0 pour tout 1in1\leq i\leq n. Alors en utilisant la proposition 2.1.9, on obtient la décomposition en somme directe d’espaces de poids:

V=ρρVρV=\bigoplus_{{\rho^{{\prime}}\leq\rho}}V_{{\rho^{{\prime}}}}

avec dimVρ=1\dim V_{\rho}=1. Alors ρ\rho est uniquement déterminé et VV est appelé le module de plus haut poids ρ\rho. Les éléments de VρV_{\rho} sont appelés vecteurs de plus hauts poids.

On définit le module de Verma Mq(ρ)M_{q}(\rho) comme le quotient de UqU_{q} par l’idéal à gauche engendré par les Xi+X_{i}^{+} et les Ki-ρi1K_{i}-\rho_{i}1. C’est un module de plus haut poids ρ\rho où un vecteur de plus haut poids est l’image de 1 dans le quotient. Tout module de plus haut poids ρ\rho est isomorphe à un quotient de Mq(ρ)M_{q}(\rho) et Mq(ρ)M_{q}(\rho) possède un unique quotient irréductible Vq(ρ)V_{q}(\rho). On a alors les propositions suivantes:

Proposition 3.1.1.

Pour tout poids ρ\rho, il existe un unique UqU_{q}-module irréductible de plus haut poids ρ\rho. Il s’agit de Vq(ρ)V_{q}(\rho). \square

Proposition 3.1.2.

Un UqU_{q}-module irréductible de plus haut poids ρ\rho est intégrable si et seulement si ρ=(σiqiλ(αi))1in\rho={\left(\sigma_{i}q_{i}^{{\lambda(\alpha_{i}^{\vee})}}\right)}_{{1\leq i% \leq n}} pour un certain σ{-1,1}n\sigma\in{\{-1,1\}}^{n} et un certain λP+\lambda\in P^{+}. \square

Proposition 3.1.3.

Tout UqU_{q}-module irréductible de dimension fini est intégrable et de plus haut poids i.e. isomorphe à un Vq(σ,λ)=Vq((σiqiλ(αi))1in)V_{q}(\sigma,\lambda)=V_{q}({\left(\sigma_{i}q_{i}^{{\lambda(\alpha_{i}^{\vee}% )}}\right)}_{{1\leq i\leq n}}) pour un certain σ{-1,1}n\sigma\in{\{-1,1\}}^{n} et un certain λP+\lambda\in P^{+}. \square

Proposition 3.1.4.

Tout UqU_{q}-module de dimension finie est complètement réductible. \square

Cela permet d’obtenir une classification complète des UqU_{q}-modules de dimension finie.

Remarque 3.1.5.

Si ρρ=σiqiλ(αi)\rho^{{\prime}}\leq\rho=\sigma_{i}q_{i}^{{\lambda(\alpha_{i}^{\vee})}}, alors par définition cela signifie que i,ρi=σiqi(λ-β)(αi)\forall i,\rho^{{\prime}}_{i}=\sigma_{i}q_{i}^{{(\lambda-\beta)(\alpha_{i}^{% \vee})}} pour un certain βQ+P+\beta\in Q^{+}\subseteq P^{+}. Donc les poids de Vq(σ,λ)V_{q}(\sigma,\lambda) sont de la forme (σiqiλ(αi))1in{\left(\sigma_{i}q_{i}^{{\lambda^{{\prime}}(\alpha_{i}^{\vee})}}\right)}_{{1% \leq i\leq n}} avec λλ\lambda^{{\prime}}\leq\lambda.

Exemple 3.1.6.

On suppose 𝔤=𝔰𝔩2\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_{2} et λ\lambda\in{\mathbb{N}}. Il existe exactement deux Uq(𝔤)U_{q}(\mathfrak{g})-modules de dimension finie λ+11\lambda+1\geq 1. Ceux sont les modules Vq(σ,λ)V_{q}(\sigma,\lambda) pour σ{-1,+1}\sigma\in\{-1,+1\} de base {v0(λ),v1(λ),,vλ(λ)}\{v_{0}^{{(\lambda)}},v_{1}^{{(\lambda)}},...,v_{\lambda}^{{(\lambda)}}\} dont l’action sur les générateurs de Uq(𝔤)U_{q}(\mathfrak{g}) est donnée par

K1vr(λ)=σqλ-2rvr(λ)K_{1}v_{r}^{{(\lambda)}}=\sigma q^{{\lambda-2r}}v_{r}^{{(\lambda)}}
X1+vr(λ)=σ[λ-r+1]qvr-1(λ)X_{1}^{+}v_{r}^{{(\lambda)}}=\sigma{\left[{\lambda-r+1}\right]}_{{q}}v_{{r-1}}% ^{{(\lambda)}}
X1-vr(λ)=[r+1]qvr+1(λ)X_{1}^{-}v_{r}^{{(\lambda)}}={\left[{r+1}\right]}_{{q}}v_{{r+1}}^{{(\lambda)}}

où on pose vλ+1=v-1=0v_{{\lambda+1}}=v_{{-1}}=0.

Notons finalement que l’on peut définir le caractère d’un Uq(𝔤)U_{q}(\mathfrak{g})-module de dimension fini en s’inspirant de ce qui existe pour le cas classique des U(𝔤)U(\mathfrak{g})-modules (cf l’annexe A.2). On a alors:

Proposition 3.1.7.

Le caractère de Vq(σ,λ)V_{q}(\sigma,\lambda) est donné par la formule des caractères de Weyl.