1.5 Algèbre de Hopf
Rappelons qu’une algèbre sur un anneau commutatif est un
-module muni d’une multiplication et d’une
unité (qui sont -linéaires) dont les propriétés peuvent
être décrites par les diagrammes commutatifs suivants:
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On définit alors la notion duale de coalgèbre qui est un -module muni
d’applications -linéaires
(la comultiplication) et (la counité) telles que
les diagrammes suivants commutent:
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Si possède à la fois une structure d’algèbre et de coalgèbre, elle est
appelée bialgèbre si les sont des morphismes
d’algèbre. Elle est appelée algèbre de Hopf si elle possède de plus une
application -linéaire bijective (l’antipode) telle que
le diagramme suivant commute:
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Une algèbre de Hopf est commutative si la multiplication l’est. Si
est défini par
alors la notion duale de cocommutativité est naturellement définie par
l’égalité .
Étant donnée une algèbre de Hopf , un -module est un -module
s’il existe une application -linéaire de
dans telle que
et
. On
dit aussi que est une
représentation d’algèbre de Hopf. Si et sont deux -modules
on peut munir leur produit tensoriel d’une structure de
-module en faisant agir sur chaque composante:
.
On obtient une structure de -module donnée par
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(1.15) |
La coassociativité de entraine alors l’associativité du produit
tensoriel: si , , sont trois -modules alors
.
L’antipode permet aussi de définir une structure de -module sur le dual
. Si et on pose pour tout
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(1.16) |